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2022神戸大学・文・第3問【整数・対数】a^m=b^n=(ab)^5 のとき、aとbの関係式

数学(大学入試問題)

【2022神戸大学・文】

(1)考え方・解答

(1)考え方

肩にのった数値(指数)を下したかったら、対数をとる!

本問では、\(a^x\) の方にのった \(x\) を下におろして、\(\displaystyle\frac{1}{x}\) の形を作りたいので、

\(a^x=b^y=(ab)^z\) の各辺に常用対数 ( ※底を \(10\) とする対数 ) をとろう!

(※底は何でもよい.今回は常用対数をとったが、底が \(2\) や \(3\) としても同様に扱える.)

 

( A式 ) = ( B式 ) = ( C式 ) ☞ \(=k\) とおく!

特に、(分数式)=(分数式)=(分数式) の形で \(k\) とおくことが多いですね!

 

(1)解答

\(a^x=b^y=(ab)^z\) の各辺に常用対数 ( ※底を \(10\) とする対数 ) をとると、

\(\log_{10}{a^x}=\log_{10}{b^x}=\log_{10}{(ab)^z}\)

\(\iff x\log_{10}{a}=y\log_{10}{b}=z\log_{10}{ab}\)

ここで、\(x\log_{10}{a}=y\log_{10}{b}=z\log_{10}{ab}=k\) とおくと、

\(\begin{cases}k=x\log_{10}{a}\\k=y\log_{10}{b}\\k=z\log_{10}{ab}\end{cases}\)

\(x\)、\(y\)、\(z\) は \(0\) ではないので、

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{\log_{10}{a}}{k}\\ \displaystyle\frac{1}{y}=\displaystyle\frac{\log_{10}{b}}{k}\\ \displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{\log_{10}{ab}}{k}\end{cases}\)

よって、

\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}=\displaystyle\frac{\log_{10}{a}}{k}+\displaystyle\frac{\log_{10}{b}}{k}=\displaystyle\frac{\log_{10}{ab}}{k}=\displaystyle\frac{1}{z}\)

となり成立する.

(2)考え方・解答

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

また有名な整数方程式の有名パターンを以下でまとめています。ご参考に!

【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)解法まとめ
定期考査から大学受験まででよく出題される頻出テーマである整数方程式。積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係など、様々なアプローチを1つ1つ考え方・見分け方を大切にしながら解説。共通テスト・2次試験整数問題対策。

(2)解答

(2) \(m\)、\(n\) を \(m>n\) をみたす自然数とし、\(\displaystyle\frac{1}{m}+\displaystyle\frac{1}{n}=\displaystyle\frac{1}{5}\) とする.\(m\)、\(n\) の値を求めよ.

\(\displaystyle\frac{1}{m}+\displaystyle\frac{1}{n}=\displaystyle\frac{1}{5}\) の両辺を \(5mn\) 倍すると、

\(mn-5m-5n=0\)

\((m-5)(n-5)=25\) ・・・①

\(m>n≧1\) より \(m-5>n-5≧-4\) であるから、

①を満たすのは、\((m-5,n-5)=(25,1)\) のみ

よって、\((m,n)=(30,6)\)

 

(3)解答 [(1)、(2)の流れから考える]

\(a^m=b^n=(ab)^5\) ・・・②、\(1<a<b\) ・・・③ とおく.

③より、\(a^n<b^n\) が成り立ち、さらに②から

\(a^n<b^n=a^m\)

底 \(a>1\) であるから、

\(n<m\) ・・・④ が成り立つ.

(1)の結果より、②ならば

\(\displaystyle\frac{1}{m}+\displaystyle\frac{1}{n}=\displaystyle\frac{1}{5}\) ・・・⑤

が成り立つ

④、⑤より、(2)の結果を用いると、\((m,n)=(30,6)\)

このとき②は、\(a^{30}=b^6=(ab)^5\)

したがって、\(b=a^5\)

2022神戸大学・理の問題

文系では、(2)、(3)で『 \(5\) 』となっていますが、

理系の問題では、『 \(p\)(素数) 』に変わっています.

基本的に同じ流れでの解法になりますが、文字に変わった分だけ、少し配慮しながら解答を作成する必要が有ります。良かったら演習として、理系の問題にも取り組んで見て下さい.

2022神戸大学・理・第5問

 

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