【2020お茶の水女子大学・第１問】
以下の問いに答えよ．ただし、必要があれば
\(0.3010<\log_{10}2<0.3011\)、\(0.4771<\log_{10}3<0.4772\)
であることを用いてもよい．
(１) \(3^{53}\) の桁数を求めよ．
(２) \(3^{53}\) の最高位の数と \(1\) の位をそれぞれ求めよ．
(３) \(| 3^{53} – 2^m |\) が最小となる整数 \(m\) を求めよ．
(１) 桁数(常用対数)
\(N\) が \(n\) 桁の自然数であるとき
\(10^{n-1} ≦ N < 10^n\)
⇔ \(n-1 ≦ log_{10}N < n\)
常用対数について、桁数・最高位・１の位の求め方・考え方についてより丁寧に具体例を用いた説明は、
『【常用対数】桁数・最高位・一の位の求め方』を参考にしてください！
(１) 解答
\(3^{53}\) に常用対数をとると、\(\log_{10}3^{53}=53\log_{10}3\)
ここで、\(0.4771<\log_{10}3<0.4772\) より、
\(53\times 0.4771<53\log_{10}3<53\times 0.4772\)
よって、\(25.2863<53\log_{10}3<25.2916\) ・・・①
であるから、\(25<\log_{10}3^{53}<26\) \(\iff\) \(10^{25}<3^{53}<10^{26}\)
したがって、\(3^{53}\) の桁数は、\(26\) 桁
(2) 最高位・１の位
\(N=A\times 10^a\) と表される数において、
\(n≦A<n+1\) のとき、\(N\) の最高位は「 \(n\) 」
一の位について問われたら、いくつか実験を！
常用対数について、桁数・最高位・１の位の求め方・考え方についてより丁寧に具体例を用いた説明は、
『【常用対数】桁数・最高位・一の位の求め方』を参考にしてください！
(２) 解答
(１)より、\(25.2863<53\log_{10}3<25.2916\) ・・・①
① \(\iff\) \(10^{25.2863}<3^{53}<10^{25.2916}\)
これを \(10^{25}\) で割ると
\(10^{0.2863}<\displaystyle\frac{3^{53}}{10^{25}}<10^{0.2916}\)
ここで \(A=\displaystyle\frac{3^{53}}{10^{25}}\) とおくと
\(0.2863<\log_{10}A<0.2916\) が成り立つ．
\(\log_{10}1=0\)、\(0.3010<\log_{10}2<0.3011\) であるから、
\(\log_{10}1<\log_{10}A<\log_{10}2\) \(\iff\) \(1<A<2\)
したがって、\(1\times 10^{25}<3^{53}<2\times 10^{25}\) であるから、
\(3^{53}\) の最高位は \(1\)
次に、\(1\) の位について
\(3^1=3\)、\(3^2=9\)、\(3^3=27\)、\(3^4=81\)、\(3^5=243\)、\(\cdots\) より
\(1\) の位は順に、『 \(3\)、\(9\)、\(7\)、\(1\) 』を繰り返す．
\(53=4\times 13+1\) より、\(3^{53}\) の \(1\) の位は \(3\)
(３)考え方
\(| 3^{53} – 2^m |\) が最小となるとき
👉 \(2^m\) ができるだけ \(3^{53}\) の値と近くなるような \(m\) を考えれば良い．
おおよその答えに見当をつけるために、\(2^m=3^{53}\) として以下考える．
( ※左辺は偶数、右辺は奇数であるから、実際に等号が成立することはない )
これに常用対数をとると、
\(\log_{10}2^m=\log_{10}3^{53}\)
\(m=\displaystyle\frac{53\log_{10}3}{\log_{10}2}\)
\(\log_{10}2=0.3010\)、\(\log_{10}3=0.4771\) として代入すると
\(m=84.0076\cdots\)
したがって、求める答えは \(m=84\) であると予想できる
👉 \(m=84\) のとき、\(| 3^{53} – 2^m |\) が最小となることを示せば良い！
本問では、\(0.3010<\log_{10}2<0.3011\)、\(0.4771<\log_{10}3<0.4772\) を利用して、評価式を作って考えていく．
(３)解答
\(| 3^{53} – 2^m |=3^{53} \left| 1 – \displaystyle\frac{2^m}{3^{53}} \right|\) より、
ここで \(B=\displaystyle\frac{2^m}{3^{53}}\) とおくと、
\(B\) ができるだけ \(1\) に近くなれば良い！
\(\log_{10}B=\log_{10}2^m-\log_{10}3^{53}=m\log_{10}2-53\log_{10}3\)
\(0.3010<\log_{10}2<0.3011\)、\(25.2863<53\log_{10}3<25.2916\) より
\(0.3010\times m-25.2916<B<0.4771\times m-25.2863\) ・・・②
\(0.3010\times m-25.2916\)、\(0.4771\times m-25.2863\) は単調増加で、
・\(m=83\) のとき②より \(-0.3086<B<-0.295\)
・\(m=84\) のとき②より \(-0.0076<B<-0.0061\)
・\(m=85\) のとき②より \(0.2934<B<0.3072\) より、
題意を満たす \(m=84\)
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