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【2020お茶の水女子大学】3^53-2^mの絶対値が最小となる整数m|桁数・最高位・1の位

数学(大学入試問題)

【2020お茶の水女子大学・第1問】

以下の問いに答えよ.ただし、必要があれば

\(0.3010<\log_{10}2<0.3011\)、\(0.4771<\log_{10}3<0.4772\)

であることを用いてもよい.

(1) \(3^{53}\) の桁数を求めよ.

(2) \(3^{53}\) の最高位の数と \(1\) の位をそれぞれ求めよ.

(3) \(| 3^{53} – 2^m |\) が最小となる整数 \(m\) を求めよ.

(1) 桁数(常用対数)

\(N\) が \(n\) 桁の自然数であるとき

\(10^{n-1} ≦ N < 10^n\)

⇔ \(n-1 ≦ log_{10}N < n\)

常用対数について、桁数・最高位・1の位の求め方・考え方についてより丁寧に具体例を用いた説明は、

【常用対数】桁数・最高位・一の位の求め方』を参考にしてください!

(1) 解答

\(3^{53}\) に常用対数をとると、\(\log_{10}3^{53}=53\log_{10}3\)

ここで、\(0.4771<\log_{10}3<0.4772\) より、

\(53\times 0.4771<53\log_{10}3<53\times 0.4772\)

よって、\(25.2863<53\log_{10}3<25.2916\) ・・・①

であるから、\(25<\log_{10}3^{53}<26\) \(\iff\) \(10^{25}<3^{53}<10^{26}\)

したがって、\(3^{53}\) の桁数は、\(26\) 桁

(2) 最高位・1の位

\(N=A\times 10^a\) と表される数において、

\(n≦A<n+1\) のとき、\(N\) の最高位は「 \(n\)

一の位 👉 規則性あり!

一の位について問われたら、いくつか実験を!

常用対数について、桁数・最高位・1の位の求め方・考え方についてより丁寧に具体例を用いた説明は、

【常用対数】桁数・最高位・一の位の求め方』を参考にしてください!

(2) 解答

(1)より、\(25.2863<53\log_{10}3<25.2916\) ・・・①

① \(\iff\) \(10^{25.2863}<3^{53}<10^{25.2916}\)

これを \(10^{25}\) で割ると

\(10^{0.2863}<\displaystyle\frac{3^{53}}{10^{25}}<10^{0.2916}\)

ここで \(A=\displaystyle\frac{3^{53}}{10^{25}}\) とおくと

\(0.2863<\log_{10}A<0.2916\) が成り立つ.

\(\log_{10}1=0\)、\(0.3010<\log_{10}2<0.3011\) であるから、

\(\log_{10}1<\log_{10}A<\log_{10}2\) \(\iff\) \(1<A<2\)

したがって、\(1\times 10^{25}<3^{53}<2\times 10^{25}\) であるから、

\(3^{53}\) の最高位は \(1\)

 

次に、\(1\) の位について

\(3^1=3\)、\(3^2=9\)、\(3^3=27\)、\(3^4=81\)、\(3^5=243\)、\(\cdots\) より

\(1\) の位は順に、『 \(3\)、\(9\)、\(7\)、\(1\) 』を繰り返す.

\(53=4\times 13+1\) より、\(3^{53}\) の \(1\) の位は \(3\)

(3)考え方

\(| 3^{53} – 2^m |\) が最小となるとき

👉 \(2^m\) ができるだけ \(3^{53}\) の値と近くなるような \(m\) を考えれば良い.

おおよその答えに見当をつけるために、\(2^m=3^{53}\) として以下考える.

( ※左辺は偶数、右辺は奇数であるから、実際に等号が成立することはない )

これに常用対数をとると、

\(\log_{10}2^m=\log_{10}3^{53}\)

\(m=\displaystyle\frac{53\log_{10}3}{\log_{10}2}\)

\(\log_{10}2=0.3010\)、\(\log_{10}3=0.4771\) として代入すると

\(m=84.0076\cdots\)

したがって、求める答えは \(m=84\) であると予想できる

👉 \(m=84\) のとき、\(| 3^{53} – 2^m |\) が最小となることを示せば良い!

本問では、\(0.3010<\log_{10}2<0.3011\)、\(0.4771<\log_{10}3<0.4772\) を利用して、評価式を作って考えていく.

(3)解答

\(| 3^{53} – 2^m |=3^{53} \left| 1 – \displaystyle\frac{2^m}{3^{53}} \right|\) より、

ここで \(B=\displaystyle\frac{2^m}{3^{53}}\) とおくと、

\(B\) ができるだけ \(1\) に近くなれば良い!

\(\log_{10}B=\log_{10}2^m-\log_{10}3^{53}=m\log_{10}2-53\log_{10}3\)

\(0.3010<\log_{10}2<0.3011\)、\(25.2863<53\log_{10}3<25.2916\) より

\(0.3010\times m-25.2916<B<0.4771\times m-25.2863\) ・・・②

\(0.3010\times m-25.2916\)、\(0.4771\times m-25.2863\) は単調増加で、

・\(m=83\) のとき②より \(-0.3086<B<-0.295\)

・\(m=84\) のとき②より \(-0.0076<B<-0.0061\)

・\(m=85\) のとき②より \(0.2934<B<0.3072\) より、

題意を満たす \(m=84\)

 

【2022昭和大学・医学部】Ⅱ期・第2問(3)14^100 最高位、桁数、15で割った余り
常用対数を用いた、桁数・最高位問題。また、15で割った余りに対して、合同式を利用。 典型有名頻出問題。数学Ⅱ:対数・対数関数。定期考査対策、2次試験対策。私大医学部。

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