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【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)解法まとめ

数学(大学入試問題)

【問題】

(1) 方程式 \(xy-x-y-1=0\) を満たす自然数の組 \(( x , y )\) をすべて求めよ.

(2) \(x , y , z\) は異なる自然数とする.

\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=1\) を満たすとき,\(x+y+z\) を求めよ.

(3) 次の方程式の整数解をすべて求めよ.

① \(x^2-6xy+5y^2-6x+10y+16=0\)

② \(3x^2-2xy+2y^2-4x+5y+2=0\)

(4) \(x\) の2次方程式 \(x^2-kx+k+1=0\) が整数解をもつように、整数 \(k\) の値を求めよ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

(1) 方程式 \(xy-x-y-1=0\) を満たす自然数の組 \(( x , y )\) をすべて求めよ.

(考え方)+(解答)

Pointの1つ目である「積の形に変形したい!」

\(xy-x-y-1=(x-1)(y-1)-2\) より

\((x-1)(y-1)=2\) より

 

\(x-1\) と \(y-1\) をかけて「2」になればよいので、

「1と2」、「2と1」、「-1と―2」、「-2と-1」の4組をそれぞれ調べればよい!

 

もちろんそれでもOKだけど、

Pointの2つ目の絞り込みを考えてみよう!

\( x , y \) は自然数であるから

\( x≧1 \)、\( y≧1 \) より、

\( x-1≧0 \)、\( y-1≧0 \)

\(x-1\) と \(y-1\) をかけて「2」になればよいので、

「1と2」、「2と1」の2組だけ調べればよい!

※今回はせいぜい4組だからよいが、もっとたくさんあるときはとても有効.

範囲の絞り込みは考える癖を!

したがって

\(( x-1 , y-1 ) = ( 2 , 1 ) , ( 1 , 2 )\)

よって、\(( x , y ) = ( 3 , 2 ) , ( 2 , 3 )\)

(2) \(x , y , z\) は異なる自然数とする.\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=1\) を満たすとき,\(x+y+z\) を求めよ.

対称式 → \(x>y>z≧1\) と範囲の設定し、範囲の絞り込み!

(※対称式・・・文字を入れ替えても同じ式)

(考え方)+(解答)

(2) \(x>y>z≧1\) とおく.

Pointの2つ目の絞り込みを考えてみよう!

\(0 < \displaystyle\frac{1}{x} < \displaystyle\frac{1}{y} < \displaystyle\frac{1}{z}\) なので

\(\displaystyle\frac{3}{x} < \displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z} <  \displaystyle\frac{3}{z}\)

つまり

\(\displaystyle\frac{3}{x} < 1 < \displaystyle\frac{3}{z}\)

\(\displaystyle\frac{3}{x} < 1\) から \(3 < x\) となるが、

\(x=4 , 5 , 6 , \)・・・となって絞れていないから失敗!

\(1 < \displaystyle\frac{3}{z}\) から \(z < 3\) となり、

\(z\) は自然数だから \(z=1 , 2 \) となり絞り込み成功!!

よって、\(1 < \displaystyle\frac{3}{z}\) から \(z < 3\)

\(z\) は自然数より \(z=1 , 2 \)

 

(ⅰ) \(z=1\) のとき

与式は、\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+1=1\)

つまり、\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}=0\) となり、この式を満たす自然数 \(x , y\) は存在しない.

 

(ⅱ) \(z=2 \) のとき

与式より、\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

両辺を \(2xy\) 倍して、

\(xy-2x-2y=0\)

(1)と同じ問題になったね!

\((x-2)(y-2)=4\)

\(x>y>z=2\) より、

\(x-2>y-2>0\)

よって \(( x-2 , y-2 )=( 4 , 1 )\)

つまり、\(( x , y )=( 6 , 3 )\)

このとき、

\(x+y+z = 6+3+2 = 11\)

(3) 次の①、②の方程式の整数解をすべて求めよ.

(3)次の方程式の整数解をすべて求めよ.

① \(x^2-6xy+5y^2-6x+10y+16=0\)

② \(3x^2-2xy+2y^2-4x+5y+2=0\)

①の考え方について

①と②は見た感じだと、ほぼ同じ問題で同じ解法??

確かに問題の形は似ているけど、

①はPointの1つ目の積の形へ

②はPointの2つ目の範囲の絞り込み

で考えていく問題だよ!

何が違うの?そしてどうやって見分けたの?

私は最初の3つの項に注目!

①の最初の3項は \(x^2-6xy+5y^2=(x-y)(x-5y)\) と

因数分解できるのにたいし、②は無理!

なるほど!

とりあえず①は(1)と同じように解けると言うことだけど、

どうやって因数分解を・・・?

\(x^2-6xy+5y^2-6x+10y+a=(x-y+b)(x-5y+c)\)

とおいて、恒等式を考えよう.

右辺は理解できたけど、左辺の \(a\) はなぜ?

問題文の「16」で因数分解できる保証はないので、とりあえず文字で置いただけだよ!

なるほど!あとは右辺を展開して係数比較を行えば・・・

\(a=5 , b=-1 , c=-5\) となったよ!


【①の解答】

\(x^2-6xy+5y^2-6x+10y+5=(x-y-1)(x-5y-5) \) より、

\(x^2-6xy+5y^2-6x+10y+16=(x-y-1)(x-5y-5)+11\) なので、

\((x-y-1)(x-5y-5)=-11\)

 

\(( x-y-1 , x-5y-5 ) = ( 1 , -11 ) , ( 11 , -1 ) , ( -1 , 11 ) , ( -11 , 1 )\) の4組より、それぞれを解くと

\(( x , y ) = ( 4 , 2 ) , ( 14 , 2 ) , ( -4 , -4 ) , ( -14 , -4 )\)

②の考え方について

整数解をもつ ⇒ 実数解をもつ

※逆は成立しないため、確認作業が必要!

与式を \(x\) について降べきの順に並べると、

\(3x^2-2(y+2)x+2y^2+5y+2=0\) ・・・(ア)

整数解があると言うことは、実数解があると言うこと.

つまり、(ア)は \(x\) の2次方程式と考えることが出来るので、「(判別式)≧0」を使って範囲を絞る!

 

【②の解答】

与式を \(x\) について降べきの順に並べると、

\(3x^2-2(y+2)x+2y^2+5y+2=0\) ・・・(ア)

(ア)の判別式をDとすると

\(\displaystyle\frac{D}{4} = (y+2)^2-3(2y^2+5y+2)≧0\)

\(-5y^2-11y-2≧0\)

\(5y^2+11y+2≦0\)

\((5y+1)(y+2)≦0\)

\(-2≦y≦\displaystyle\frac{-1}{5}\)

\(y\) は整数より、\(y=-2 , -1\)

\(y=-2 , -1\) となるのはあくまでも

\(x\) が実数解をもつときなので、

この時にしっかりと整数解となるかそれぞれチェックをしよう!

(ⅰ)  \(y=-2\) のとき

(ア)より \(3x^2=0\)

よって \(x=0\)

\(( x , y ) = ( 0 , -2 ) \)

 

(ⅱ)  \(y=-1\) のとき

(ア)より \(3x^2-2x-1=0\)

\((3x+1)(x-1)=0\)

\(x\) は整数より \(x=1\)

\(( x , y ) = ( 1 , -1 ) \)

【2021京都府立大学】x^2-4xy+7y^2+y-14=0を満たす整数解|頻出良問!整数問題
整数方程式。判別式による範囲の絞り込み。(必要条件で範囲を絞り、十分条件の確認) 共通テスト・2次試験対策。整数問題:頻出・重要・差がつく良問。京都府立大学、数学、過去問題

(4) \(x\) の2次方程式 \(x^2-kx+k+1=0\) が整数解をもつように、整数 \(k\) の値を求めよ.

(考え方)+(解答)

因数分解できないけど、(3)の②と同じように判別式を考えればいけるぞ!!

(判別式) \(=k^2-4\cdot(k+1)=k^2-4k-4≧0\)

解の公式を利用して \(k ≦ 2-2\sqrt{2}  ,  2+2\sqrt{2} ≦ k\)

あれ?範囲が絞られていない・・・??

考え方は悪くないよ!

問題によってはこれで範囲が絞られて最後まで解けるから!

ただ今回は絞れなかっただけ

整数解を \(x= α , β \) とおいて、解と係数の関係を利用

解と係数の関係

\(ax^2+bx+c=0\) の2解が \(x = \alpha , \beta \) のとき、

\(\alpha + \beta = -\displaystyle\frac{b}{a}\)

\(\alpha \beta = \displaystyle\frac{c}{a}\)

整数解を \(x = \alpha , \beta \) \(( \alpha ≦ \beta )\)とおく.

解と係数の関係から、

\(\alpha + \beta = k\)

\(\alpha \beta = k+1\)

\( k\) を消去して

\(\alpha \beta = \alpha + \beta + 1\)

あっ!?これは(1)の問題と同じだ!!

\(( \alpha – 1 )( \beta – 1 ) = 2\)

\(\alpha – 1 ≦ \beta – 1\) より

\(( \alpha – 1 , \beta – 1 )=( -2 , -1 ) , ( 1 , 2 ) \)

\(( \alpha, \beta )=( -1 , 0 ) , ( 2 , 3 ) \)

したがって、\(k = \alpha + \beta \) より、\(k = -1 , 5\)

【整数方程式】n^2-2nx+2n+7=0の解がすべて整数となるn【2019女子栄養大】
典型タイプの整数方程式。判別式で値の絞り込み、解と係数の関係の利用。別解として、nの方程式ととらえ、次数下げから約数に注目して整数解を導く。 定期考査・共通テスト・2次試験対策・数学A:整数問題


最後に

いかがだったでしょうか?

方程式の整数解(1次不定方程式を除く)だけでも、これだけ様々なタイプがあります。

1次不定方程式については【整数問題】1次不定方程式 \(ax+by=c\)(共通テスト・センター試験過去問)を参考に。

見た目だけでは判断しづらい問題もありますし、解と係数の関係など、発想としてなかなか出てこない問題もありますので、ここでしっかり経験値を積み、入試で応用できるように自分の力にしていってください!


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