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【整数方程式】n^2-2nx+2n+7=0の解がすべて整数となるn【2019女子栄養大】

数学(大学入試問題)

【2019女子栄養大学】

\(n\) を整数とする.\(x\) についての \(2\) 次方程式

\(x^2-2nx+2n+7=0\) の解がすべて整数となるような \(n\) の値をすべて求めよ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

 

整数方程式の問題をあまり経験したことがない方は、整数方程式の有名問題を一通り紹介した

【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)解法まとめ
定期考査から大学受験まででよく出題される頻出テーマである整数方程式。積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係など、様々なアプローチを1つ1つ考え方・見分け方を大切にしながら解説。共通テスト・2次試験整数問題対策。

をご参考に!

考え方Ⅰ:値の絞り込みで考えてみる

『整数解をもつ ⇒ 実数解をもつ』
※逆は成り立たないため、最後に答えのチェック(十分性の確認)が必要

本問は \(2\) 次方程式であること、『整数解をもつ ⇒ 実数解をもつ』と考えることができるので、

判別式 \(D≧0\) で値の絞り込みは出来ないかと考える

\(x^2-2nx+2n+7=0\) の判別式を \(D\) とすると、

\(D=(-2n)^2-4\times1\times(2n+7)≧0\)

\(n^2-2n1;7≧0\)

\(n≦1-2\sqrt{2} , 1+2\sqrt{2}≦n\)

範囲が絞り込めていない・・・

本問ではこの考え方は残念ながら失敗

※模範解答では、正しい答えしかのっていません。

「失敗=ダメ」ではなく、「失敗 ⇒ 次の考え方」という発想で!

本番の入試問題では、どれで上手くいくかなんてわかりませんので、失敗をたくさん経験しておきましょう!

ちなみに今回は失敗でしたが、この考え方で解ける問題もあります!

 

考え方Ⅱ:解と係数の関係の利用で考えてみる

解と係数の関係

\(ax^2+bx+c=0\) の2解が \(x = \alpha , \beta \) のとき、

\(\alpha + \beta = -\displaystyle\frac{b}{a}\)、\(\alpha \beta = \displaystyle\frac{c}{a}\)

\(x^2-2nx+2n+7=0\) の整数解を、\(x=\alpha,\beta\) とおく

解と係数の関係より、

\(\alpha+\beta=2n\)、\(\alpha\beta=2n+7\)

\(n\) を消去すると、

\(\alpha\beta=\alpha+\beta+7\)

この形になれば、『 ( )( )=整数 』

に変形する典型問題!

解答:解と係数の利用

\(x^2-2nx+2n+7=0\) の整数解を、\(x=\alpha,\beta\) とおく( \(\alpha≦\beta\) )

\(\alpha≦\beta\) と条件を追加しました!

この条件があると、後々に絞り込みで利用でき便利!

解と係数の関係より、

\(\alpha+\beta=2n\)、\(\alpha\beta=2n+7\)

\(\alpha\beta=\alpha+\beta+7\)

\((\alpha-1)(\beta-1)=8\)

積が \(8\) となるものすべてを考えればよいが、上手に絞り込みを行うことで計算が楽になります!

下では、上で設定した \(\alpha≦\beta\) を利用した絞り込みと、「偶数・奇数」を利用した絞り込みを紹介します。

\(\alpha≦\beta\) より、\(\alpha-1≦\beta-1\)

また、\(\alpha+\beta=2n\) ( 偶数 )

\(\alpha\beta=2n+7=2(n+3)+1\) ( 奇数 ) であることから、

\(\alpha\)、\(\beta\) はともに奇数であることが分かる.

よって、\(\alpha-1\)、\(\beta-1\) はともに偶数であることに注意すると、

\((\alpha-1,\beta-1)=(-4,-2) , (2,4)\)

\((\alpha,\beta)=(-3,-1) , (3,5)\)

したがって、\(2n=\alpha+\beta\) より

\(n=-2, 4\)

別解

\(x^2-2nx+2n+7=0\) を、\(n\) の \(1\) 次方程式と考える

\(x^2-2nx+2n+7=0\)

\(2(x-1)n=x^2+7\) ・・・①

ここで \(x=1\) と仮定すると、

① \(\iff\) \(0=8\) となり矛盾

よって、\(x\not=1\) より、

\(n=\displaystyle\frac{x^2+7}{2(x-1)}\)

(分子の次数) ≧ (分母の次数)

☞ 次数下げ ( 割り算 )

※上のポイントは、整数問題に限らず、様々な場面で利用します。しっかりと覚えておきましょう!

\(n=\displaystyle\frac{1}{2}\left(x+1+\displaystyle\frac{8}{x-1}\right)\)

\(n\) は整数であるから、

「\(\displaystyle\frac{8}{x-1}\) が整数」 かつ 「\(x+1+\displaystyle\frac{8}{x-1}\) が偶数」でなければいけない.

まず、「\(\displaystyle\frac{8}{x-1}\) が整数」であるためには、\(x-1\) が \(8\) の約数になるため、

\(x-1=-8,-4,-2,-1,1,2,4,8\) \(\iff\) \(x=-7,-3,-1,0,2,3,5,9\)

このとき、「\(x+1+\displaystyle\frac{8}{x-1}\) が偶数」となるのは、

\(x=-3,-1,3,5\) のとき

したがって、\(n=-2,4\)

 

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