以下の問に答えよ．
(１) 京都薬科大学
微分係数 \(f^{\prime} (5)\) の定義に基づいて，
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{5f(x)-xf(5)}{x-5}\) を \(f(5)\) , \(f^{\prime}(5)\) を用いて表せ．
(２) 防衛大学
関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能なとき，\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a-2h)}{h}\) を\(f^{\prime} (a)\) を用いて表せ．
(３) 2021龍谷大学
\(f(x)=x^3\) のとき，\(f^{\prime}(x)=3x^2\) であることを導関数の定義にしたがって示しなさい．
導関数の定義
関数 \(y=f(x)\) の \(x=a\) における微分係数は
\(f^{\prime} (a)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
または \(f^{\prime} (a)=\displaystyle\lim_{b\rightarrow a} \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
一般に，関数 \(y=f(x)\) の \(x=a\) において，\(x\) の各値 \(a\) に対して，微分係数 \(f^{\prime}(a)\) を対応させると，\(1\) つの新しい関数が得られる．この新しい関数を，もとの関数 \(f(x)\) の導関数といい，
で表す．関数 \(f(x)\) から導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求めることを，\(f(x)\) を微分するという．
(１) 京都薬科大学
微分係数 \(f^{\prime} (5)\) の定義に基づいて，
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{5f(x)-xf(5)}{x-5}\) を \(f(5)\) , \(f^{\prime}(5)\) を用いて表せ．
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{5f(x)-xf(5)}{x-5}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{5\left\{f(x)-f(5)+f(5)\right\}-xf(5)}{x-5}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{5\left\{f(x)-f(5)\right\}-(x-5)f(5)}{x-5}\)
\(=5\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{f(x)-f(5)}{x-5}-f(5)\)
\(=5f^{\prime}(5)-f(5)\)
(２) 防衛大学
関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能なとき，\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a-2h)}{h}\) を\(f^{\prime} (a)\) を用いて表せ．
\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a-2h)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-2h)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a-2h)-f(a)}{h}\) ・・・①
ここで，
\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a-2h)-f(a)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{-2h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+(-2h))-f(a)}{(-2h)}\times (-2)=-2f^{\prime} (a)\) より
①から与式は，\(f^{\prime}(a)-\left(-2f^{\prime}(a)\right)=3f^{\prime}(a)\)
(３) 2021龍谷大学
\(\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\displaystyle\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=3x^2+3xh+h^2\)
よって，\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2\)
したがって，\(f^{\prime}(x)=3x^2\) が成り立つ．
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