【2021札幌医科大】直円錐の側面積の最小値｜数学Ⅲ：微積

【2021札幌医科大】

体積が \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}\pi\) の直円錐において，直円錐の側面積の最小値を求めよ．ただし直円錐とは，底面の円の中心と頂点とを結ぶ直線が，底面に垂直である円錐のことである．

解答・解説

直円錐の底面の円の半径を \(r\) ，高さを \(h\) ，母線の長さを \(l\) とおくと，

\(l=\sqrt{r^2+h^2}\) ，\(r>0\) ，\(h>0\) ・・・①

体積が \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}\pi\) であるから，

\(\displaystyle\frac{1}{3}\pi hr^2=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}\pi\)

よって，\(h=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{r^2}\) ・・・②

また，この直円錐の側面は右図のように扇形となるので，その面積を \(S\) とすると，

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot l \cdot 2\pi r=\pi lr\) より

①，②の結果から

\(S=\pi r\sqrt{r^2+\displaystyle\frac{2}{r^4}}=\pi\sqrt{r^4+\displaystyle\frac{2}{r^2}}\)

\(S\) の最小値については，２通りの解法を紹介します！

いずれも使えるように！！

\(S=\pi\sqrt{r^4+\displaystyle\frac{2}{r^2}}\)

\(r\) の関数として微分してもOKですが，計算を楽にするために，置き換えをしましょう！その際に範囲の確認をお忘れなく！！

\(x=r^2\) とおく ( \(x>0\) )

\(S=\pi\sqrt{x^2+\displaystyle\frac{2}{x}}\)

ここで，\(f(x)=x^2+\displaystyle\frac{2}{x}\) とおく．

\(f^{\prime}(x)=2x-\displaystyle\frac{2}{x^2}=\displaystyle\frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}\)

\(f^{\prime}(x)=0\) のとき \(x=1\)

したがって，\(f(x)\) は \(x=1\) で最小値 \(3\) をとる．

よって，直円錐の側面積 \(S\) の最小値は \(\sqrt{3}\pi\)

\(3\) つの相加平均・相乗平均の関係

\(a≧0\)、\(b≧0\)、\(c≧0\) のとき

\(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}≧\sqrt[3]{abc}\)

等号成立は \(a=b=c\) のとき

\(S=\pi\sqrt{r^4+\displaystyle\frac{2}{r^2}}=r^4+\displaystyle\frac{1}{r^2}+\displaystyle\frac{1}{r^2}\)

\(r>0\) より相加平均・相乗平均の関係から，

\(r^4+\displaystyle\frac{1}{r^2}+\displaystyle\frac{1}{r^2}≧3\sqrt[3]{r^4\times \displaystyle\frac{1}{r^2}\times \displaystyle\frac{1}{r^2}}=3\)

(等号成立は \(r=1\) のとき )

よって \(r^4+\displaystyle\frac{2}{r^2}\) は最小値 \(3\) をとるので，

したがって，求める \(S\) の最小値は \(\sqrt{3}\pi\)