【2022東京医科歯科大学・医学部・第３問】
曲線 \(C\)：\(y=f(x)\) ( \(0≦x<1\) ) が次の条件を満たすとする．
・\(f(0)=0\)
・\(0<x<1\) のとき \(f^{\prime}(x)>0\)
・\(0<a<1\) を満たすすべての実数 \(a\) について，曲線 \(C\) 上の点 \(P(a,f(a))\) における接線と直線 \(x=1\) との交点を \(Q\) とするとき，\(PQ=1\)
このとき以下の問いに答えよ．
(１) \(f^{\prime}(x)\) を求めよ．
(２) \(\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx\) の値を求めよ．
(３) 曲線 \(C\) と \(x\) 軸，直線 \(x=1\)，直線 \(y=f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) で囲まれた図形の面積を求めよ．
解答・解説
(１) \(f^{\prime}(x)\)
右図はあくまでもイメージ！
\(f^{\prime}(x)>0\) であるから，\(f(x)\) のグラフが単調増加であることはわかります！
点 \(P\) における接線の方程式は，
\(y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)\)
よって，\(y=f^{\prime}(a)x-af^{\prime}(a)+f(a)\) ・・・①
①と \(x=1\) の交点が \(Q\) より
\(Q(1,f^{\prime}(a)-af^{\prime}(a)+f(a))\)
条件から \(PQ=1\) より \(PQ^2=1\)
\((1-a)^2+\left\{f^{\prime}(a)-af^{\prime}(a)\right\}^2=1\)
\((1-a)^2+(1-a)^2\left\{f^{\prime}(a)\right\}^2=1\)
\(\left\{f^{\prime}(a)\right\}^2=\displaystyle\frac{1}{(1-a)^2}-1\)
\(0<a<1\) のとき \(f^{\prime}(a)>0\) より
\(f^{\prime}(a)=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(1-a)^2}-1}\)
したがって，\(f^{\prime}(x)=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}-1}\)
(２) \(\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx\)
(１)より
\(\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)\sqrt{\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}-1}dx\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}\sqrt{1-(1-x)^2}dx\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}\sqrt{1-(x-1)^2}dx\)
\(t=x-1\) とおくと与式は，
\(\displaystyle\int^{-\frac{1}{2}}_{-1}\sqrt{1-t^2} dt\)
これは，中心原点，半径 \(1\) の円の右図の斜線部の面積を表すので，
\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \displaystyle\frac{\pi}{3}-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8}\)
したがって，
\(\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8}\)
(３) 囲まれた図形の面積
求める図形の面積を \(S\) とおくと
\(S=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0} f(x)dx+\displaystyle\frac{1}{2}f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
(２)の結果を上手に利用したい！と思えるかどうかがPointです！部分積分を利用し，(２)の結果が利用できるように計算していきましょう！
\(S=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(x-1)^{\prime} f(x)dx+\displaystyle\frac{1}{2}f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
\(=\Bigl[(x-1)f(x)\Bigr]^{\frac{1}{2}}_{0}-\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(x-1)f^{\prime}(x) dx+\displaystyle\frac{1}{2}f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)+f(0)+\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx+\displaystyle\frac{1}{2}f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
\(f(0)=0\)，(２)の結果より
\(S=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(1-x)f^{\prime}(x) dx=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8}\)
コメント