【2021京都工芸繊維大学】
\(\theta\) を実数とし，\(n\) を整数とする．\(z=\sin \theta+i\cos \theta\) とおくとき，複素数 \(z^n\) の実部と虚部を \(\cos(n \theta)\) と \(\sin(n \theta)\) を用いて表せ．ただし，\(i\) は虚数単位である．
考え方
ド・モアブルの定理
\(n\) が整数のとき
\((\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)
\(z^n\) を考えるので，ド・モアブルの定理を利用したい！
と考えるのは自然な流れですね。
そこで，\(z=\sin \theta+i\cos \theta\) で与えられた \(z\) の形を，
\(z=\)(\(\cos\)の形)+(\(i\sin\) の形) に変形をしましょう！
解答・解説
\(z=\sin \theta+i\cos \theta=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}- \theta\right)+i\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}- \theta\right)\)
ド・モアブルの定理から
\(z^n=\cos\left(\displaystyle\frac{n\pi}{2}- n\theta\right)+i\cos\left(\displaystyle\frac{n\pi}{2}- n\theta\right)\)
以下，\(k\) を整数とする．
( ⅰ ) \(n=4k\) のとき
\(z^n=\cos\left(2k\pi-n \theta\right)+i\sin\left(2k\pi-n \theta\right)\)
よって，\(z^n=\cos(n \theta)-i\sin(n \theta)\)
( ⅱ ) \(n=4k+1\) のとき
\(z^n=\cos\left(2k\pi+\displaystyle\frac{\pi}{2}-n\theta\right)+i\sin\left(2k\pi+\displaystyle\frac{\pi}{2}-n\theta\right)\)
\(=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-n \theta\right)+i\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-n \theta\right)\)
よって，\(z^n=\sin(n \theta)+i\cos(n \theta)\)
( ⅲ ) \(n=4k+2\) のとき
\(z^n=\cos\left(2k\pi+\pi-n \theta\right)+i\sin\left(2k\pi+\pi-n \theta\right)\)
\(=\cos\left(\pi-n \theta\right)+i\sin\left(\pi-n \theta\right)\)
よって，\(z^n=-\cos(n \theta)+i\sin(n \theta)\)
( ⅳ ) \(n=4k+3\) のとき
\(z^n=\cos\left(2k\pi+\displaystyle\frac{3\pi}{2}-n\theta\right)+i\sin\left(2k\pi+\displaystyle\frac{3\pi}{2}-n\theta\right)\)
\(=\cos\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}-n \theta\right)+i\sin\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}-n \theta\right)\)
よって，\(z^n=-\sin(n \theta)-i\cos(n \theta)\)
したがって，
・\(n=4k\) のとき
実部：\(\cos(n \theta)\) ，虚部：\(-\sin(n \theta)\)
・\(n=4k+1\) のとき
実部：\(\sin(n \theta)\) ，虚部：\(\cos(n \theta)\)
・\(n=4k+2\) のとき
実部：\(-\cos(n \theta)\) ，虚部：\(\sin(n \theta)\)
・\(n=4k+3\) のとき
実部：\(-\sin(n \theta)\) ，虚部：\(-\cos(n \theta)\)
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