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【2023慶応義塾大学・看護】実験から一般項の推定、数学的帰納法を利用して証明

数列

【2023慶応義塾大学・看護医療・(誘導なしに変更)】

次の条件によって定められる数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) がある.

\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=\sqrt{a^2_{n}+1}\) ( \(n=1,2,3,\cdots\) )

一般項 \(a_{n}\) を求めよ.

考え方・方針

漸化式は完全パターン問題です!

まずはしっかりと基本パターンをマスターしましょう!

【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ|数学B数列

【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ|数学B数列
等差・等比・階差・隣接二項間特性方程式の基礎基本から、分数・三項間・和と一般項・数学的帰納法型など,有名頻出重要パターンの解法のまとめ。漸化式は完全暗記であるため、しっかりと解法をマスターしよう!数学B:数列(漸化式)。2次試験・共通テスト(センター試験)・定期考査対策。

今回はパターン13のタイプですね!

そうですね!

まずは \(a_{2}\),\(a_{3}\),\(\cdots\) を求めて,一般項を推定してみましょう!

もちろん数学的帰納法を用いて証明することを忘れずに!

解答・解説

\(n=1\) のとき

\(a_{2}=\sqrt{a^2_{1}+1}=\sqrt{2}\)

\(n=2\) のとき

\(a_{3}=\sqrt{a^2_{2}+1}=\sqrt{3}\)

\(n=3\) のとき

\(a_{4}=\sqrt{a^2_{3}+1}=\sqrt{4}(=2)\) より

一般項 \(a_{n}\) は \(a_{n}=\sqrt{n}\) と推定することができる.

 

\(a_{n}=\sqrt{n}\) ・・・①が成り立つことを数学的帰納法で示す.

( ⅰ ) \(n=1\) のとき

\(a_{1}=\sqrt{1}=1\) となり成立

( ⅱ ) \(n=k\) のとき①が成立すると仮定する.

つまり \(a_{k}=\sqrt{k}\) ・・・② と仮定する.

\(a_{k+1}=\sqrt{a_{k}+1}\) ,②より

\(a_{k+1}=\sqrt{k+1}\)

よって \(n=k+1\) のとき成立

( ⅰ ),( ⅱ )より①はすべての自然数 \(n\) に対して成立

したがって,\(a_{n}=\sqrt{n}\)

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