漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
ここでは，出題される頻度の高い解法パターン１３を紹介します！
下の例題１３問については，誘導なしで見た瞬間に解法が思いつくようにしておきましょう！
【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
１．\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=a_{n}+3\)
２．\(a_{1}=3\)，\(a_{n+1}=2a_{n}\)
３．\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)
４．\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=3a_{n}-2\)
５．\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=4a_{n}+6\cdot 2^n\)
６．\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\)
７．\(a_{1}=0\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)
８．\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=4\)，\(a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_{n}=0\)
９．\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=5\)，\(a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_{n}=0\)
10．\(S_{n}=-7+2n-a_{n}\)
11．\(a_{1}=1\)，\(na_{n+1}=(n+1)a_{n}\)
12．\(\begin{cases}a_{1}=0 , b_{1}=1\\a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)
13．\(a_{1}=3\) , \(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\)
答え
※ 解法についてはそれぞれのページで解説しています。
解法が思いつかなかった，知らないパターンの問題はしっかりと確認しておきましょう！
１〜３．等差・等比・階差数列型
１．\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=a_{n}+3\)
２．\(a_{1}=3\)，\(a_{n+1}=2a_{n}\)
３．\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)
《答え》
１．\(a_{n}=3n-1\)
２．\(a_{n}=3\cdot 2^{n-1}\)
３．\(a_{n}=n^2-n+1\)
考え方・解答・解説は「こちら」
４．隣接二項間特製方程式型
《答え》
４．\(a_{n}=3^{n-1}+1\)
考え方・解答・解説は「こちら」
５． \(n\) 乗型
６．分数型(基本編)
《答え》
６．\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1}\)
考え方・解答・解説は「こちら」
※分数型(発展編)については
パターン14．\(a_{1}=0\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}\)
解答・解説 ⇒ 【漸化式14】分数型(発展)２実数解タイプ｜解法パターン｜数学B数列
パターン15．\(a_{1}=8\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}\)
解答・解説 ⇒ 【漸化式15】分数型(発展)重解タイプ｜解法パターン｜数学B数列
７． \(n\) 振分け型
《答え》
７．\(a_{n}=2^n-2n\)
考え方・解答・解説は「こちら」
８，９．隣接三項間(\(2\)実解，重解)型
８．\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=4\)，\(a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_{n}=0\)
９．\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=5\)，\(a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_{n}=0\)
《答え》
８．\(a_{n}=2\cdot 3^{n-1}-2^{n-1}\)
９．\(a_{n}=(2n+1)\cdot 3^{n-2}\)
考え方・解答・解説は「こちら」
10．和と一般項型
10．\(S_{n}=-7+2n-a_{n}\)
《答え》
10．\(a_{n}=-9\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n+2\)
考え方・解答・解説は「こちら」
11．階比数列型
11．\(a_{1}=1\)，\(na_{n+1}=(n+1)a_{n}\)
《答え》
11．\(a_{n}=n\)
考え方・解答・解説は「こちら」
12．連立型
12．\(\begin{cases}a_{1}=0 , b_{1}=1\\a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)
《答え》
12．\(a_{n}=\displaystyle\frac{2^{3n-1}-2^{n+1}}{3}\) , \(b_{n}=\displaystyle\frac{2^{3n-2}+2^{n-1}}{3}\)
考え方・解答・解説は「こちら」
13．数学的帰納法型
13．\(a_{1}=3\) , \(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\)
《答え》
13．\(a_{n}=n+2\)
考え方・解答・解説は「こちら」
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