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【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ|数学B数列

数学(大学入試問題)

漸化式は完全暗記もの!

数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

ここでは,出題される頻度の高い解法パターン13を紹介します!

下の例題13問については,誘導なしで見た瞬間に解法が思いつくようにしておきましょう!

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

1.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=a_{n}+3\)

2.\(a_{1}=3\),\(a_{n+1}=2a_{n}\)

3.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)

4.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=3a_{n}-2\)

5.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=4a_{n}+6\cdot 2^n\)

6.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\)

7.\(a_{1}=0\),\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)

8.\(a_{1}=1\),\(a_{2}=4\),\(a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_{n}=0\)

9.\(a_{1}=1\),\(a_{2}=5\),\(a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_{n}=0\)

10.\(S_{n}=-7+2n-a_{n}\)

11.\(a_{1}=1\),\(na_{n+1}=(n+1)a_{n}\)

12.\(\begin{cases}a_{1}=0 , b_{1}=1\\a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)

13.\(a_{1}=3\) , \(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\)

答え

※ 解法についてはそれぞれのページで解説しています。

解法が思いつかなかった,知らないパターンの問題はしっかりと確認しておきましょう!

1〜3.等差・等比・階差数列型

1.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=a_{n}+3\)

2.\(a_{1}=3\),\(a_{n+1}=2a_{n}\)

3.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)

《答え》

1.\(a_{n}=3n-1\)

2.\(a_{n}=3\cdot 2^{n-1}\)

3.\(a_{n}=n^2-n+1\)

考え方・解答・解説は「こちら

4.隣接二項間特製方程式型

4.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=3a_{n}-2\)

《答え》

4.\(a_{n}=3^{n-1}+1\)

考え方・解答・解説は「こちら

5. \(n\) 乗型

5.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=4a_{n}+6\cdot 2^n\)

《答え》

5.\(a_{n}=(2^{n+1}-3)\cdot 2^n\)

考え方・解答・解説は「こちら

6.分数型(基本編)

6.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\)

《答え》

6.\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1}\)

考え方・解答・解説は「こちら

※分数型(発展編)については

パターン14.\(a_{1}=0\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}\)

解答・解説 ⇒ 【漸化式14】分数型(発展)2実数解タイプ|解法パターン|数学B数列

パターン15.\(a_{1}=8\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}\)

解答・解説 ⇒ 【漸化式15】分数型(発展)重解タイプ|解法パターン|数学B数列

7. \(n\) 振分け型

7.\(a_{1}=0\),\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)

《答え》

7.\(a_{n}=2^n-2n\)

考え方・解答・解説は「こちら

8,9.隣接三項間(\(2\)実解,重解)型

8.\(a_{1}=1\),\(a_{2}=4\),\(a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_{n}=0\)

9.\(a_{1}=1\),\(a_{2}=5\),\(a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_{n}=0\)

《答え》

8.\(a_{n}=2\cdot 3^{n-1}-2^{n-1}\)

9.\(a_{n}=(2n+1)\cdot 3^{n-2}\)

考え方・解答・解説は「こちら

10.和と一般項型

10.\(S_{n}=-7+2n-a_{n}\)

《答え》

10.\(a_{n}=-9\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n+2\)

考え方・解答・解説は「こちら

11.階比数列型

11.\(a_{1}=1\),\(na_{n+1}=(n+1)a_{n}\)

《答え》

11.\(a_{n}=n\)

考え方・解答・解説は「こちら

12.連立型

12.\(\begin{cases}a_{1}=0 , b_{1}=1\\a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)

《答え》

12.\(a_{n}=\displaystyle\frac{2^{3n-1}-2^{n+1}}{3}\) , \(b_{n}=\displaystyle\frac{2^{3n-2}+2^{n-1}}{3}\)

考え方・解答・解説は「こちら

13.数学的帰納法型

13.\(a_{1}=3\) , \(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\)

《答え》

13.\(a_{n}=n+2\)

考え方・解答・解説は「こちら

【漸化式14】分数型(発展)2実数解タイプ|解法パターン|数学B数列
漸化式の解き方・解法まとめ。分数型の発展的な型(2実数解タイプ)の一般項の求め方。基本形へ帰着させるための手順。有名頻出・重要問題。定期考査、大学入試共通テスト、2次試験対策。

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