【頻出・整数】3より大きい素数pで、p^2を12で割った余り｜2004弘前大学・理

【2004弘前大学・理(一部)】

\(3\) より大きな素数 \(p\) に対して、\(p^2\) を \(12\) で割った余りを求めよ．

２より大きい素数、３より大きい素数

入試問題において、素数の中でも \(2\) と \(3\) は特別扱いされることが非常に多い!

そこで、\(2\) より大きい素数 ( \(2\) を除く素数 ) 、 \(3\) より大きい素数 ( \(2\) と \(3\) を除く素数 ) という設定・条件の問題はたくさんあります。そのような問題を見たら、次の条件を考えてみましょう！

・\(2\) より大きい素数 ⇒ \(2m+1\) の形で表される

・\(3\) より大きい素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される

《注意》逆は成立しない．

（反例） \(m=4\) のとき、\(2m+1=9\) 、 \(6m+1=25\) と素数ではない．

【考え方】

自然数 \(m\) を用いて、４以上のすべての素数は

\(6m-2\)
\(6m-1\)
\(6m\)
\(6m+1\)
\(6m+2\)
\(6m+3\)

のいずれかの中に含まれているが、

１．\(6m-2=2(3m-1)\) となり２の倍数であるから、４以上の素数はこの中に存在しない

３．\(6m\) は６の倍数であるから、４以上の素数はこの中に存在しない

５．\(6m+2=2(3m+1)\) となり２の倍数であるから、４以上の素数はこの中に存在しない

６．\(6m+3=3(2m+1)\) となり３の倍数であるから、４以上の素数はこの中に存在しない

よって、４以上の素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される

\(p\) は \(3\) より大きい素数であるから、 \(p=6m\pm1\) の形で表される．( \(m\) は自然数 )

\(p^2=(6m\pm1)^2=36m^2\pm12m+1=12(3m^2\pm m)+1\) ( 複号同順 )

したがって、\(p^2\) を \(12\) で割った余りは \(1\) となる．

非常にシンプルな解答となりましたが、

「\(p\) は \(3\) より大きい素数であるから、 \(p=6m\pm1\) の形」

を知っていたからこそ。この性質を利用した整数問題は頻出です！

２以上の自然数 \(n\) に対し、

\(n\) と \(n^2+2\) がともに素数になるのは \(n=3\) の場合に限ることを示せ．

\(p^2-1=24q\) を満たす素数 \(p\) と素数 \(q\) の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ．

上の京都大学、奈良女子大学の問題の解答はこちら