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【頻出・整数】3より大きい素数pで、p^2を12で割った余り|2004弘前大学・理

数学(大学入試問題)

【2004弘前大学・理(一部)】

\(3\) より大きな素数 \(p\) に対して、\(p^2\) を \(12\) で割った余りを求めよ.

2より大きい素数、3より大きい素数

入試問題において、素数の中でも \(2\) と \(3\) は特別扱いされることが非常に多い!

そこで、\(2\) より大きい素数 ( \(2\) を除く素数 ) 、 \(3\) より大きい素数 ( \(2\) と \(3\) を除く素数 ) という設定・条件の問題はたくさんあります。そのような問題を見たら、次の条件を考えてみましょう!

・\(2\) より大きい素数 ⇒ \(2m+1\) の形で表される

・\(3\) より大きい素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される
《注意》逆は成立しない.
(反例) \(m=4\) のとき、\(2m+1=9\) 、 \(6m+1=25\) と素数ではない.
【考え方】
自然数 \(m\) を用いて、4以上のすべての素数は
  1. \(6m-2\)
  2. \(6m-1\)
  3. \(6m\)
  4. \(6m+1\)
  5. \(6m+2\)
  6. \(6m+3\)
のいずれかの中に含まれているが、
1.\(6m-2=2(3m-1)\) となり2の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない
3.\(6m\) は6の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない
5.\(6m+2=2(3m+1)\) となり2の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない
6.\(6m+3=3(2m+1)\) となり3の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない
よって、4以上の素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される
【整数問題・素数】4より大きい素数は6m±1の一部(京大、奈良女子大学過去問演習)
「4より大きい素数ならば、6で割った余りは1または5の一部」学校の授業では習わないが、とても大切な素数の性質について、京都大学、奈良女子大学の過去問を使って考え方を解説。 2006・京都大学理系、2021奈良女子大学過去問。
【奈良県立医科大学】a^(p-1)-1=p^k(aは2以上の整数、pは2より大きい素数)
素数は積の形に弱い!「2より大きい素数⇒2m+1(奇数)、3より大きい⇒6m±1とおける。 医学部過去問。2次試験対策。数学A・整数問題・素数

解答

\(p\) は \(3\) より大きい素数であるから、 \(p=6m\pm1\) の形で表される.( \(m\) は自然数 )

 

\(p^2=(6m\pm1)^2=36m^2\pm12m+1=12(3m^2\pm m)+1\) ( 複号同順 )

したがって、\(p^2\) を \(12\) で割った余りは \(1\) となる.

非常にシンプルな解答となりましたが、

「\(p\) は \(3\) より大きい素数であるから、 \(p=6m\pm1\) の形」

を知っていたからこそ。この性質を利用した整数問題は頻出です!

類題

2006 京都大学

2以上の自然数 \(n\) に対し、

\(n\) と \(n^2+2\) がともに素数になるのは \(n=3\) の場合に限ることを示せ.

2021奈良女子大学

\(p^2-1=24q\) を満たす素数 \(p\) と素数 \(q\) の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ.
上の京都大学、奈良女子大学の問題の解答はこちら

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