【2019神戸大学・理系(後期)】
\(m\) , \(n\) を \(0<m<n\) を満たす整数とする．\(\alpha\) , \(\beta\) を \(0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(0<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(m=\tan\alpha\) , \(n=\tan\beta\) を満たす実数とする．
(１) \(\tan \displaystyle\frac{7\pi}{12}\) の値を求めよ．
(２) \(\alpha+\beta>\displaystyle\frac{7\pi}{12}\) であることを示せ．
(３) \(\tan(\alpha+\beta)\) が整数となるような組 \(( m , n \) をすべて求めよ．
考え方
(１) 加法定理の利用
(３)整数問題のPoint
まず整数問題すべてに共通して言えるPointは
- 積の形に変形
- 条件から範囲を絞る
- 倍数や余りに注目
整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。
本問では，積の形に変形して処理する有名タイプ！
不安な方は，「【整数問題】整数方程式（積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係）解法まとめ」を確認してください！
解答・解説
(１)
\(\tan \displaystyle\frac{7\pi}{12}=\tan\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{\pi}{3}+\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}}{1-\tan\displaystyle\frac{\pi}{3}\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}\)
(２)
\(m\) , \(n\) は \(0<m<n\) を満たす整数より
\(m≧1\) , \(n≧2>\sqrt{3}\) であるから
\(\tan\alpha≧1\) , \(\tan\beta>\sqrt{3}\)
\(0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(0<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より
\(\alpha≧\displaystyle\frac{\pi}{4}\) , \(\beta>\displaystyle\frac{\pi}{3}\)
よって，\(\alpha+\beta>\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{7\pi}{12}\)
(３)
\(0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(0<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) と(２)の結果より
\(\displaystyle\frac{7\pi}{12}<\alpha+\beta<\pi\)
よって(１)より
\(-2-\sqrt{3}<\tan(\alpha+\beta)<0\)
ここで，\(-4<-2-\sqrt{3}<-3\) であり，\(\tan(\alpha+\beta)\) は整数より
\(\tan(\alpha+\beta)=-3,-2,-1\)
また，\(\tan(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}\) より
( ⅰ ) \(\tan(\alpha+\beta)=-3\) のとき
\(\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}=-3\)
\(3mn-m-n-3=0\)
\(9mn-3m-3n-9=0\)
\((3m-1)(3n-1)=10\)
\(3m-1\) , \(3n-1\) は整数で，\(1≦m<2\) より
\(2≦3m-1<3n-1\) であるから，
\(( 3m-1 , 3n-1 ) = ( 2 , 5 )\)
よって，\(( m , n ) = ( 1 , 2 )\)
( ⅱ ) \(\tan(\alpha+\beta)=-2\) のとき
\(\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}=-2\)
\(2mn-m-n-2=0\)
\(4mn-2m-2n-4=0\)
\((2m-1)(2n-1)=5\)
\(2m-1\) , \(2n-1\) は整数で，\(1≦m<2\) より
\(1≦2m-1<2n-1\) であるから，
\(( 2m-1 , 2n-1 ) = ( 1 , 5 )\)
よって，\(( m , n ) = ( 1 , 3 )\)
( ⅲ ) \(\tan(\alpha+\beta)=-1\) のとき
\(\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}=-1\)
\(mn-m-n-1=0\)
\((m-1)(n-1)=2\)
\(m-1\) , \(n-1\) は整数で，\(1≦m<2\) より
\(0≦m-1<n-1\) であるから，
\(( m-1 , n-1 ) = ( 1 , 2 )\)
よって，\(( m , n ) = ( 2 , 3 )\)
したがって( ⅰ )〜( ⅲ )より，
\(( m , n ) = ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 )\)
コメント