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【2019神戸大学・理系(後期)】tan(α+β)が整数|三角関数と整数問題

数学(大学入試問題)

【2019神戸大学・理系(後期)】

\(m\) , \(n\) を \(0<m<n\) を満たす整数とする.\(\alpha\) , \(\beta\) を \(0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(0<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(m=\tan\alpha\) , \(n=\tan\beta\) を満たす実数とする.

(1) \(\tan \displaystyle\frac{7\pi}{12}\) の値を求めよ.

(2) \(\alpha+\beta>\displaystyle\frac{7\pi}{12}\) であることを示せ.

(3) \(\tan(\alpha+\beta)\) が整数となるような組 \(( m , n \) をすべて求めよ.

考え方

(1) 加法定理の利用

\(\tan(\alpha+\beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)

(3)整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

本問では,積の形に変形して処理する有名タイプ!

不安な方は,「【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)解法まとめ」を確認してください!

解答・解説

(1)

\(\tan \displaystyle\frac{7\pi}{12}=\tan\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{\pi}{3}+\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}}{1-\tan\displaystyle\frac{\pi}{3}\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}}\)

\(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}\)

(2)

\(m\) , \(n\) は \(0<m<n\) を満たす整数より

\(m≧1\) , \(n≧2>\sqrt{3}\) であるから

\(\tan\alpha≧1\) , \(\tan\beta>\sqrt{3}\)

\(0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(0<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より

\(\alpha≧\displaystyle\frac{\pi}{4}\) , \(\beta>\displaystyle\frac{\pi}{3}\)

よって,\(\alpha+\beta>\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{7\pi}{12}\)

(3)

\(0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(0<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) と(2)の結果より

\(\displaystyle\frac{7\pi}{12}<\alpha+\beta<\pi\)

よって(1)より

\(-2-\sqrt{3}<\tan(\alpha+\beta)<0\)

ここで,\(-4<-2-\sqrt{3}<-3\) であり,\(\tan(\alpha+\beta)\) は整数より

\(\tan(\alpha+\beta)=-3,-2,-1\)

また,\(\tan(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}\) より

( ⅰ ) \(\tan(\alpha+\beta)=-3\) のとき

\(\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}=-3\)

\(3mn-m-n-3=0\)

\(9mn-3m-3n-9=0\)

\((3m-1)(3n-1)=10\)

\(3m-1\) , \(3n-1\) は整数で,\(1≦m<2\) より

\(2≦3m-1<3n-1\) であるから,

\(( 3m-1 , 3n-1 ) = ( 2 , 5 )\)

よって,\(( m , n ) = ( 1 , 2 )\)

( ⅱ ) \(\tan(\alpha+\beta)=-2\) のとき

\(\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}=-2\)

\(2mn-m-n-2=0\)

\(4mn-2m-2n-4=0\)

\((2m-1)(2n-1)=5\)

\(2m-1\) , \(2n-1\) は整数で,\(1≦m<2\) より

\(1≦2m-1<2n-1\) であるから,

\(( 2m-1 , 2n-1 ) = ( 1 , 5 )\)

よって,\(( m , n ) = ( 1 , 3 )\)

( ⅲ ) \(\tan(\alpha+\beta)=-1\) のとき

\(\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}=-1\)

\(mn-m-n-1=0\)

\((m-1)(n-1)=2\)

\(m-1\) , \(n-1\) は整数で,\(1≦m<2\) より

\(0≦m-1<n-1\) であるから,

\(( m-1 , n-1 ) = ( 1 , 2 )\)

よって,\(( m , n ) = ( 2 , 3 )\)

 

したがって( ⅰ )〜( ⅲ )より,

\(( m , n ) = ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 )\)

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