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【2003東京大学】円周率が3.05より大きいことを証明せよ|円周率とは?

数学(大学入試問題)

【2003東京大学】

円周率が \(3.05\) より大きいことを証明せよ。

円周率とは?

円周率 \(\pi\) とな何か説明できますか??

\(\pi=3.14\cdots\) とずっと続く値ですよね・・・?

改めて聞かれると何と答えたらよいのか・・・。

この有名問題を機に,円周率の定義を確認しておきましょう!

円周率 \(\pi\) とは,円の直径に対する円周の長さの比率

解答・解説

円周率 \(\pi\) とは円の直径に対する円周の長さの比である.よって円周率 \(\pi\) は,直径 \(1\) の円の周の長さでもある.

 

ここで円周の長さは,その円に内接する多角形の辺の長さの総和より大きいので,直径が \(1\) の円に内接する正十二角形を考える.

この正十二角形の \(1\) 辺の長さを \(a\) とすると余弦定理より

\(a^2=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-2\times \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\cos 30°\)

\(a^2=\displaystyle\frac{2-\sqrt{3}}{4}\)

\(a=\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\displaystyle\frac{4-2\sqrt{2}}{2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{2\sqrt{2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

よって,\(\pi>12a=3(\sqrt{6}-\sqrt{2})\)

ここで,\(6>2.44^2=5.9536\) ,\(2<1.42^2=2.0164\) より

\(\sqrt{6}>2.44\) ,\(\sqrt{2}<1.42\) であるから

\(\pi>3(\sqrt{6}-\sqrt{2})>3(2.44-1.42)=3.06>3.05\)

したがって,\(\pi>3.05\) が成立する.

【2003年東京大学・類題】円周率の大きさ[2021 信州大学・教育学部]
2003年の東京大学の「円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ」の類題。 誘導が丁寧で、演習にともて良い一問。三角関数(半角の公式)、円周率の大小について証明。

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