【2023大阪公立大学・理系・第１問】
\(A\) , \(B\) の \(2\) 人が階段の一番下の段にいる．\(2\) 人はじゃんけんをして，下記のルールに従い階段を移動するゲームを繰り返し行う．
・\(A\) は勝ったら \(1\) 段のぼり，あいこか負けた場合，同じ段にとどまる．
・\(B\) はグー，チョキで勝ったら \(1\) 段のぼり，パーで勝ったら \(3\) 段のぼる．また，あいこか，グー，チョキで負けた場合，同じ段にとどまる．パーで負けたら階段の一番下の段まで戻る(すでに一番下の段にいる場合はとどまる)．
\(A\) , \(B\) ともに，\(\displaystyle\frac{1}{3}\) ずつの確率でグー，チョキ，パーを出すものとし，すべての試行は独立とする．\(2\) 回目以降のゲームは，\(2\) 人とも直前のゲームでの移動を終えた位置で行うものとする．階段の一番下の段を \(0\) 段目とし，そこから \(m\) 段のぼった段を \(m\) 段目とする．次の問いに答えよ．
問1 \(n\) は自然数とし，\(m\) は \(0≦m≦n\) である整数とする．\(n\) 回のゲームを終えた結果，\(A\) が \(m\) 段目にいる確率 \(x_{n,m}\) を求めよ．
問2 \(m\) は \(0\) 以上の整数とする．\(2\) 回のゲームを終えた結果，\(B\) が \(m\) 段目にいる確率 \(y_{m}\) を求めよ．
問3 \(n\) は自然数とする．\(n\) 回のゲームを終えた結果，\(B\) が \(0\) 段目にいる確率 \(z_{m}\) を求めよ．
解答・解説
問1 \(n\) 回のゲームを終えた結果，\(A\) が \(m\) 段目にいる確率 \(x_{n,m}\)
\(n\) 回のゲームを終えた結果，\(A\) が \(m\) 段目にいるのは，
\(A\) がちょうど \(m\) 回勝ち，残りの \(n-m\) 回あいこまたは負けるときである．
\(x_{n,m}=_{n}C_{m}\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^m\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n-m}=\displaystyle\frac{_{n}C_{m}2^{n-m}}{3^n}\)
問2 \(2\) 回のゲームを終えた結果，\(B\) が \(m\) 段目にいる確率 \(y_{m}\)
\(B\) は \(1\) 回のゲームで最大 \(3\) 段までしか登れないため，\(2\) 回のゲームを終えたとき，最大で \(6\) 段目までしか登れない．
よって \(m≧7\) のとき \(y_{m}=0\)
\(m=0,1,2,\cdots,6\) のときについてそれぞれ考える．
(ア) \(m=0\) のとき
\(B\) が「 \(1\) 回目に勝ち，\(2\) 回目にパーで負け」または「\(2\) 回ともあいこまたは負け」のいずれか
よって \(y_{0}=\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{1}{9}+\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{13}{27}\)
(イ) \(m=1\) のとき
\(B\) が「\(1\) 回目にグー，チョキで勝ち，\(2\) 回目にあいこまたはグー，チョキで負け」または「\(1\) 回目に負けまたはあいこ，\(2\) 回目にグー，チョキで勝つ」のいずれか
よって，\(y_{1}=\displaystyle\frac{2}{9}\times \displaystyle\frac{5}{9}+\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{2}{9}=\displaystyle\frac{22}{81}\)
(ウ) \(m=2\) のとき
\(B\) が「\(2\) 回ともグー，チョキで勝つ」のときのみ
よって，\(y_{2}=\left(\displaystyle\frac{2}{9}\right)^2=\displaystyle\frac{4}{81}\)
(エ) \(m=3\) のとき
\(B\) が「\(1\) 回目にパーで勝ち，\(2\) 回目にあいこまたはグー，チョキで負け」または「\(1\) 回目にあいこまたは負け，\(2\) 回目にパーで勝つ」のいずれか
よって，\(y_{3}=\displaystyle\frac{1}{9}\times \displaystyle\frac{5}{9}+\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{11}{81}\)
(オ) \(m=4\) のとき
\(B\) が「グー，チョキで \(1\) 回勝ち，パーで \(1\) 回勝つ」のときのみ
よって，\(y_{4}=_{2}C_{1}\times \displaystyle\frac{2}{9}\times \displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{4}{81}\)
(カ) \(m=5\) のとき
\(2\) 回のゲームで \(B\) がちょうど \(5\) 段のぼることはないため，\(y_{5}=0\)
(キ) \(m=6\) のとき
\(B\) が「\(2\) 回ともパーで勝つ」のときのみ
よって，\(y_{6}=\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^2=\displaystyle\frac{1}{81}\)
以上より
\(y_{0}=\displaystyle\frac{13}{27}\)
\(y_{1}=\displaystyle\frac{22}{81}\)
\(y_{2}=\displaystyle\frac{4}{81}\)
\(y_{3}=\displaystyle\frac{11}{81}\)
\(y_{4}=\displaystyle\frac{4}{81}\)
\(y_{5}=0\)
\(y_{6}=\displaystyle\frac{1}{81}\)
\(y_{m}=0\) (\(m≧7\))
問3 \(n\) 回のゲームを終えた結果，\(B\) が \(0\) 段目にいる確率 \(z_{m}\)
\(n\) 回のゲームを終えて \(B\) が \(0\) 段目にいるのは次のいずれか．
( ⅰ ) \(n\) 回すべて \(B\) があいこまたはグー，チョキで負けるとき
\(\left(\displaystyle\frac{5}{9}\right)^n\)
( ⅱ ) \(k\) 回目 ( \(1≦k≦n\) ) に \(B\) がパーで負け，それ以降にあいこまたはグー，チョキで負けるとき
\(\displaystyle\frac{1}{9}\times \left(\displaystyle\frac{5}{9}\right)^{n-k}\)
したがって求める確率は
\(z_{n}=\left(\displaystyle\frac{5}{9}\right)^n+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{9}\times \left(\displaystyle\frac{5}{9}\right)^{n-k}}\)
\(=\left(\displaystyle\frac{5}{9}\right)^n+\displaystyle\frac{1}{9}\times \left(\displaystyle\frac{5}{9}\right)^n\times \displaystyle\frac{9}{5}\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{9}{5}\right)^{n}-1}{\displaystyle\frac{9}{5}-1}\)
\(=\displaystyle\frac{3}{4}\left(\displaystyle\frac{5}{9}\right)^n+\displaystyle\frac{1}{4}\)
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