【2023藤田医科大学(後期)医学部・第１問(9)】
\(2^{2023}(2^{2023}-1)\) の \(1\) の位の数字は [ ヒ ] である．
\(1\) の位の数字について
考え方①規則性から考える
\(2^1\) の \(1\) の位の数字は \(2\)
\(2^2\) の \(1\) の位の数字は \(4\)
\(2^3\) の \(1\) の位の数字は \(8\)
\(2^4\) の \(1\) の位の数字は \(6\)
\(2^5\) の \(1\) の位の数字は \(2\)
となり，「\(2\) \(\rightarrow\) \(4\) \(\rightarrow\) \(8\) \(\rightarrow\) \(6\)」を繰り返す．
\(1\) の位の数字は周期性を持つため，周期性から考えることができます！
解答・解説では，周期性を持つことについて証明も与えておきます。
【常用対数】桁数・最高位・一の位の求め方
常用対数（底を10とする対数）において頻出の、３問（桁数、最高位、一の位の数）のまとめ。
具体例を踏まえながら、考え方を身につけましょう！
mathmathmanabu.com
2021.08.19
考え方②\(10\) で割った余り(合同式で考える)
一の位とは、10 で割った余りのこと
☞ \(mod 10\) で考えることができる
合同式に不安がある人は、
を参考にしてください！
規則性を持つことを証明
\(a , b\) の一の位が等しい
👉 \(a-b\) は \(10\) の倍数
777の777乗の一の位、7の7乗の7乗の一の位｜2021成城大学
一の位は規則性をもつ。実験から周期性を見つける。また周期性を持つことについて、補足として証明を与える。
合同式(mod 10)の利用。数学Ａ整数問題。２次試験対策、定期考査対策。過去問題演習
mathmathmanabu.com
2022.03.11
解答・解説
\(n\) は自然数，\(mod 10\) として考える．
\(2^{n+4}-2^n=15\cdot 2^n=10\cdot 3\cdot 2^{n-1}≡0\) より
\(2^{n+4}≡2^n\) なので
\(2^{n+4}\) の \(1\) の位の数字と \(2^n\) の \(1\) の位の数字は一致する．
つまり， \(2^n\) の \(1\) の位の数字は \(4\) つの周期性をもつ
\(2^{2023}=2^{4\times 505+3}≡2^3=8\) より
\(2^{2023}(2^{2023}-1)≡8(8-1)=56≡6\)
したがって，求める \(1\) の位の数字は \(6\)
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