【2023北海道大学・理系・第１問】数列の極限と複素数平面

【2023北海道大学・理系・第１問】

複素数平面上における図形 \(C_{1}\)，\(C_{1}\)，\(\cdots\cdots\)，\(C_{n}\)，\(\cdots\cdots\) は次の条件 (\(A\))，(\(B\)) をみたすとする．ただし，\(i\) は虚数単位とする．

(\(A\))　\(C_{1}\) は原点 \(O\) を中心とする半径 \(2\) の円である．

(\(B\))　自然数 \(n\) に対して，\(z\) が \(C_{n}\) 上を動くとき \(2w=z+1+i\) で定まる \(w\) の描く図形が \(C_{n+1}\) である．

(１)　すべての自然数 \(n\) に対して，\(C_{n}\) は円であることを示し，その中心を表す複素数 \(\alpha_{n}\) と半径 \(r_{n}\) を求めよ．

(２)　\(C_{n}\) 上の点と \(O\) との距離の最小値を \(d_{n}\) とする．このとき，\(d_{n}\) を求めよ．また，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}d_{n} \) を求めよ．

解答・解説

すべての自然数 \(n\) に対して，\(C_{n}\) は円であることを数学的帰納法を用いて示す．

( ⅰ )　\(n=1\) のとき

条件 (\(A\)) より \(C_{1}\) は原点 \(O\) を中心とする半径 \(2\) の円であるから成立する．

( ⅱ )　\(n=k\) のとき

\(C_{k}\) は中心 \(\alpha_{k}\)，半径 \(r_{k}\) の円と仮定する．

条件 (\(B\)) より \(C_{k+1}\) は

\(|z-\alpha_{k}|=r_{k}\) かつ \(2w=z+1+i\) を満たす．

\(z=2w-(1+i)\) を代入すると

\(|2w-(1+i)-\alpha_{k}|=r_{k}\)

\(\left|w-\displaystyle\frac{\alpha_{k}+1+i}{2}\right|=\displaystyle\frac{r_{k}}{2}\)

よって，中心 \(\displaystyle\frac{\alpha_{k}+1+i}{2}\)，半径 \(\displaystyle\frac{r_{k}}{2}\) の円を表すので，\(n=k+1\) のときも成立．

( ⅰ )，( ⅱ )より，すべての自然数 \(n\) に対して，\(C_{n}\) は円である．

また，

条件 (\(A\)) より\(C_{1}\) は原点 \(O\) を中心とする半径 \(2\) の円であるから

\(\alpha_{1}=0\)，\(r_{1}=2\)

さらに上の証明の ( ⅱ ) から

\(\alpha_{n+1}=\displaystyle\frac{\alpha_{n}+1+i}{2}\) ，\(r_{n+1}=\displaystyle\frac{r_{n}}{2}\)

\(\alpha_{n+1}=\displaystyle\frac{\alpha_{n}+1+i}{2}\) より

\(\alpha_{n+1}-(1+i)=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\alpha_{n}-(1+i)\right\}\)

\(\alpha_{n}-(1+i)=\left\{\alpha_{1}-(1+i)\right\}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

よって，\(\alpha_{n}=(1+i)\left\{1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}\)

また \(r_{n+1}=\displaystyle\frac{r_{n}}{2}\) より

\(r_{n}=r_{1}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

よって，\(r_{n}=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-2}\)

\(C_{n}\) 上の点と原点の距離の最小値 \(d_{n}\) は，

直線 \(O\alpha_{n}\) と円 \(C_{n}\) の \(2\) 交点のうち，点 \(O\) に近い方

よって

\(d_{n}=||\alpha_{n}|-r_{n}|\)

\(=\left|\sqrt{2}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-2}\right|\)

したがって，\(d_{n}=\left|\sqrt{2}-(\sqrt{2}+2)\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right|\)

また，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}=0\) より

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}d_{n}=\sqrt{2}\)