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【2005防衛大学校】x+y+z=a,1/x+1/y+1/z=1/aのときx^n+y^n+z^nとa^nの大小|対称式

数学(大学入試問題)

【2005防衛大学校】

\(0\) でない実数 \(x\), \(y\), \(z\) が \(x+y+z=a\), \(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{1}{a}\) を満たすとき,次の問に答えよ.

(1) \((a-x)(a-y)(a-z)\) の値を求めよ.

(2) \(w=x^n+y^n+z^n\) とおくとき,\(w\) と \(a^n\) との大小を調べよ.ただし,\(n\) は正の整数である.

考え方・解答

(1)解答

\(x+y+z=a\)・・・①

\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{1}{a}\) ・・・②

②より,\(a(xy+yz+zx)=xyz\) ・・・③

\((a-x)(a-y)(a-z)=a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-a^3\)

より,①,③から

\((a-x)(a-y)(a-z)=a^3-a^3+xyz-xyz=0\)

(2)考え方

(1)より \((a-x)(a-y)(a-z)=0\) であるから

\(a=x\) または \(a=y\) または \(a=z\)

つまり, \(x\), \(y\), \(z\) のうち少なくとも \(1\) つは \(a\) である.

👉 \(x\), \(y\), \(z\) は対称式であるから,\(z=a\) として一般性を失わない

《参考》

「\(3\) つの基本対称式 ( \(x+y+z\) , \(xy+yz+zx\) , \(xyz\) ) が与えられ,少なくとも1つが〇〇」という問題は頻出テーマ!4STEPにものっています。

例題演習として福岡教育大学の問題をご確認ください⏬

2014 福岡教育大学【等式証明】少なくとも 1 つは 1 に等しいことの証明
等式証明。3文字の対称式。証明の仕方、考え方について説明・解説。 4STEP数学Ⅱ52番の類題。

(2)解答

(1)より \(x\), \(y\), \(z\) のうち少なくとも \(1\) つは \(a\) であるから,\(z=a\) として一般性を失わない.

このとき,①より \(x+y=0\) より \(y=-x\) であるから

\(w=x^n+y^n+z^n=x^n+(-x)^n+a^n\)

\(n\) が奇数のとき \(w=a^n\)

\(n\) が偶数のとき \(w=2x^n+a^n>a^n\)

 

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