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2019一橋大学・第1問[整数問題・数列] an が平方数でない項が存在

数学(大学入試問題)

【2019一橋大学・第1問】

\(p\) を自然数とする.数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) を

\(a_{1}=1\)、\(a_{2}=p^2\)、\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}+13\) ( \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) )

により定める.数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) に平方数でない項が存在することを示せ.

 

考え方【整数問題の極意】

整数問題において、様々なポイントはありますが、整数問題の極意は実験!!

何も方針がつかめないのであれば、まずは \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) と具体的な値を代入して実験してみましょう!

具体的な値で実験し、規則や法則を見つけることを意識してください!

 

\(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) と具体的に実験

\(a_{1}=1\)、\(a_{2}=p^2\)、\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}+13\) より

\(a_{3}=a_{2}-a_{1}+13=p^2-1+13=p^2+12\)

\(a_{4}=a_{3}-a_{2}+13=(p^2+12)-p^2+13=25\)

\(a_{5}=a_{4}-a_{3}+13=25-(p^2+12)+13=-p^2+26\)

\(a_{6}=a_{5}-a_{4}+13=(-p^2+26)-25+13=-p^2+14\)

\(a_{7}=a_{6}-a_{5}+13=(-p^2+14)-(-p^2+26)+13=1\)

あれ!?\(a_{1}=a_{7}\) になりました!!

☞ \(a_{n}\) は周期性を持っている!

 

解答

\(a_{1}=1\)、\(a_{2}=p^2\)、\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}+13\) より

\(a_{3}=a_{2}-a_{1}+13=p^2-1+13=p^2+12\)

\(a_{4}=a_{3}-a_{2}+13=(p^2+12)-p^2+13=25\)

\(a_{5}=a_{4}-a_{3}+13=25-(p^2+12)+13=-p^2+26\)

\(a_{6}=a_{5}-a_{4}+13=(-p^2+26)-25+13=-p^2+14\)

\(a_{7}=a_{6}-a_{5}+13=(-p^2+14)-(-p^2+26)+13=1\)

\(a_{1}=a_{7}\) となり、数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) は周期 \(6\) の周期数列となる.

つまり題意を示すためには、\(a_{1}\) から \(a_{6}\) の中に平方数でない項が存在することを言えばよい.

\(a_{1}=1\)、\(a_{2}=p^2\)、\(a_{4}=25\) は \(p\) の値によらず常に平方数となるので、

\(a_{3}=p^2+12\)、\(a_{5}=26-p^2\)、\(a_{6}=14-p^2\) について考える.

ここで、\(a_{3}\)、\(a_{5}\)、\(a_{6}\) のすべてが平方数になると仮定すると、

\(a_{3}≧0\)、\(a_{5}≧0\)、\(a_{6}≧0\) である必要がある.

よって、\(p^2+12≧0\)、\(26-p^2≧0\)、\(14-p^2≧0\)

\(p\) は自然数であるので、\(p = 1 , 2 , 3\)

しかし

\(p=1\) のとき \(a_{6}=13\)

\(p=2\) のとき \(a_{6}=10\)

\(p=3\) のとき \(a_{6}=5\)

となり、いずれも平方数とはならない.

したがって、題意は示された.

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