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2021京都工芸繊維大学|mのm-1乗を8で割った余り・整数問題(合同式modの利用)

数学(大学入試問題)

【2021京都工芸繊維大学・工芸科学】

\(m\) を自然数とする.

(1) \(m\) が偶数のとき,\(m^{m-1}+1\) を \(8\) で割った余りを求めよ.

(2) \(m\) が奇数のとき,\(m^{m-1}+1\) を \(8\) で割った余りを求めよ.

はじめに

パターン問題でない限り、問題を見てすぐに方針が見える人は少ないかと思います。

パッと問題をみて方針が立たない(パターン問題ではない)ときは、整数問題に関してはとにかく手を動かす(実験する)ことが大原則!

そこから法則・規則を見つけ、方針を見出しましょう!

※合同式について

下記の解答では、合同式を利用します。

まだ学習していない人、不安な人は、

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を用いて使えるように演習を!

整数問題を扱う上で、合同式が使えないのは致命的です・・・。

 

実験から法則を見つける!

(1) について実験

\(m\) は偶数であるから、

\(m= 2 , 4 , 6 , \cdots\) で実験してみましょう。

(ア) \(m=2\) のとき

\(m^{m-1}+1=2^1+1=3\) より、 \(8\) で割った余りは \(3\)

(イ) \(m=4\) のとき

\(m^{m-1}+1=4^3+1\)

\(4^3=2^6=8\times2^3\) なので \(8\) で割り切れる.

よって、\(4^3+1\) を \(8\) で割った余りは \(1\)

(ウ) \(m=6\) のとき

\(m^{m-1}+1=6^5+1\)

\(6^5=2^5 \times 3^5=8\times2^2 \times 3^5\) なので \(8\) で割り切れる.

よって、\(6^5+1\) を \(8\) で割った余りは \(1\)

 

\(m=2\) のときは \(3\)

\(m≧4\) の偶数のときは \(1\)

になると予想できる.

(1) 解答

(ⅰ) \(m=2\) のとき

\(m^{m-1}+1=2^1+1=3\) より、 \(8\) で割った余りは \(3\)

(ⅱ) \(m≧4\) の偶数のとき

\(2\) 以上の自然数 \(k\) を用いて、\(m=2k\) とおける.

このとき、

\(m^{m-1}+1=(2k)^{2k-1}+1\)

ここで、\((2k)^{2k-1}=2^{2k-1}\times k^{2k-1}=8 \times 2^{2k-4} \times k^{2k-1}\) であり、

\(k≧2\) より \(2k-4≧0\) なので \((2k)^{2k-1}\) は \(8\) で割り切れる.

よって、\(m^{m-1}+1=(2k)^{2k-1}+1\) を \(8\) で割った余りは \(1\)



(2)について実験

\(m\) は奇数であるから、

\(m= 1 , 3 , 5 , \cdots\) で実験してみましょう。

(ア) \(m=1\) のとき

\(m^{m-1}+1=1^0+1=2\) より、 \(8\) で割った余りは \(2\)

(イ) \(m=3\) のとき

\(m^{m-1}+1=3^2+1=10\) より、 \(8\) で割った余りは \(2\)

(ウ) \(m=5\) のとき

\(m^{m-1}+1=5^4+1=626\) より、 \(8\) で割った余りは \(2\)

 

\(m\) が奇数のとき

\(m^{m-1}+1\) を \(8\) で割った余りは \(2\)

になると予想できる.

(2) 解答

以下、法を \(8\) として考える.

\(m\) は奇数であるから、

\(m ≡ 1 , 3 , 5 , 7\) となる.

 

(Ⅰ) \(m ≡ 1\) のとき

\(m^{m-1}+1 ≡ 1+1 =2\) より

\(m^{m-1}+1\) を \(8\) で割った余りは \(2\)

(Ⅱ) \(m ≡ 3\) のとき

\(m^{m-1}+1 ≡ 3^2+1 ≡ 2\) より

\(m^{m-1}+1\) を \(8\) で割った余りは \(2\)

(Ⅲ) \(m ≡ 5\) のとき

\(m^{m-1}+1 ≡ 5^4+1 ≡ (-3)^4+1 ≡ 82 ≡ 2\) より

\(m^{m-1}+1\) を \(8\) で割った余りは \(2\)

(Ⅳ) \(m ≡ 7\) のとき

\(m^{m-1}+1 ≡ 7^6+1 ≡ (-1)^6+1 ≡ 2\) より

\(m^{m-1}+1\) を \(8\) で割った余りは \(2\)

(Ⅰ)~(Ⅳ)の結果から、

\(m\) が奇数のとき、 \(m^{m-1}+1\) を \(8\) で割った余りは \(2\)

さいごに

整数問題では、

実験 → 規則を見つける(予想) → 証明(一般化)

の流れで解答を作っていくことが良くあります。

ただ解答をなぞるだけの勉強ではなく、しっかりと手を動かし(実験し)、解答の方針が立てられるようにしていきましょう!

また、(2)では二項定理などを利用しても証明は出来ます。

しかし合同式を利用することで、解答がスッキリしますので、合同式に不安がある方は是非!合同式が使いこなせるよう、演習を!

2021 東京海洋大学|背理法・倍数証明・合同式の利用

2021 兵庫県立大学【整数】平方数には合同式(mod)を使え!

2021 岡山大学・文理共通【整数問題】合同式・余り

などなど、このサイトでは整数のカテゴリーの問題では、様々な場面で合同式を利用しています。

入試問題(実践問題)を使って演習してください。

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