【2023滋賀大学】
\(n\) を自然数とする．\(n+1\) から \(2n\) までの積を \(a_{n}\) とするとき，次の問に答えよ．
(1) \(a_{4}\) を素因数分解せよ．
(2) \(a_{n}=2^{n}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots \cdot (2n-1)\) が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3) \(a_{n}\) を \(2^{n+1}\) で割った余りを求めよ．
解答・解説
(1) \(a_{4}\) を素因数分解せよ．
\(a_{4}=5\cdot 6\cdot 7 \cdot 8=2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7\)
(2) \(a_{n}=2^{n}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots \cdot (2n-1)\) が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\(a_{n}=2^{n}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots \cdot (2n-1)\) ・・・ ① とおく．
(ⅰ) \(n=1\) のとき
\(a_{1}=2^1\cdot 1\) より①は成立する．
(ⅱ) \(n=k\) のとき①が成立すると仮定すると
\(a_{k}=2^{k}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots \cdot (2k-1)\) ・・・ ②
\(n=k+1\) のとき
\(a_{k+1}=(k+2)(k+3)\cdot\cdots\cdot 2k\cdot(2k+1)\cdot 2(k+1)\)
\(= 2(k+1)(k+2)(k+3)\cdot\cdots\cdot 2k\cdot(2k+1)\)
\(=2a_{k}\times(2k+1)\)
②より
\(a_{k+1}=2\times 2^{k}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots \cdot (2k-1)\times(2k+1)\)
\(=2^{k+1}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots \cdot (2k-1)\left\{2(k+1)-1\right\}\)
よって， \(n=k+1\) のときも①は成立する．
(ⅰ)，(ⅱ)より，すべての自然数 \(n\) について①は成立する．
(3) \(a_{n}\) を \(2^{n+1}\) で割った余りを求めよ．
\(1\cdot 3\cdot 5\cdots \cdot (2n-1)\) は \(n\) 個の奇数の積であるため奇数となる．よって \(0\) 以上の整数 \(m\) を用いて，
\(1\cdot 3\cdot 5\cdots \cdot (2n-1)=2m+1\) と表される．
ゆえに，\(a_{n}=2^n(2m+1)=2^{n+1}m+2^n\)
したがって，\(a_{n}\) を \(2^{n+1}\) で割った余りは \(2^n\)
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