【2023同志社大学】3次関数｜定数分離型、解の範囲について

【2023同志社大学・全学部日程・文系・第２問】

\(m\) を実数の定数とする．\(3\) 次方程式 \(2x^3+3x^2-12x-6m=0\) は，相異なる \(3\) つの実数解 \(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\) をもつとする．ただし，\(\alpha<\beta<\gamma\) とする．

(１)　\(3\) 次関数 \(y=\displaystyle\frac{1}{6}(2x^3+3x^2-12x)\) の極大値と極小値をそれぞれ求めよ．

(２)　\(xy\) 平面上において，\(3\) 次関数 \(y=\displaystyle\frac{1}{6}(2x^3+3x^2-12x)\) のグラフの概形を描け．

(３)　\(m\) のとりうる値の範囲を求めよ．

(４)　\(\gamma\) のとりうる値の範囲を求めよ．

解答・解説

\(y=\displaystyle\frac{1}{6}(2x^3+3x^2-12x)\) より

\(y^{\prime}=x^2+x-2=(x+2)(x-1)\)

\(y^{\prime}=0\) のとき \(x=-2,1\)

\(x=-2\) のとき極大値：\(\displaystyle\frac{10}{3}\)

\(x=1\) のとき極小値：\(-\displaystyle\frac{7}{6}\)

\(2x^3+3x^2-12x-6m=0\) ・・・①

\(\iff\) \(m=\displaystyle\frac{1}{6}(2x^3+3x^2-12x)\)

①の解は \(y=m\) と \(y=\displaystyle\frac{1}{6}(2x^3+3x^2-12x)\) の交点の \(x\) 座標と一致するので

(２)のグラフから相異なる \(3\) つの実数解 \(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\) をもつのは

\(-\displaystyle\frac{7}{6}<m<\displaystyle\frac{10}{3}\)

\(y=\displaystyle\frac{10}{3}\) のとき

\(\displaystyle\frac{1}{6}(2x^3+3x^2-12x)=\displaystyle\frac{10}{3}\)

\(\iff\) \(2x^3+3x^2-12x-20=0\)

\(\iff\) \((x+2)^2(2x-5)=0\)

よって，\(x=-2,-\displaystyle\frac{5}{2}\)

\(\gamma\) は \(y=\displaystyle\frac{1}{6}(2x^3+3x^2-12x)\) と \(y=m\) の交点の \(x\) 座標のうち最大のものであるから

\(1<\gamma<\displaystyle\frac{5}{2}\)