【2023東北大学・理系・第２問】
関数 \(f(x)=\sin 3x+\sin x\) について，以下の問いに答えよ．
(１) \(f(x)=0\) を満たす正の実数 \(x\) のうち，最小のものを求めよ．
(２) 正の整数 \(m\) に対して，\(f(x)=0\) を満たす正の実数 \(x\) のうち，\(m\) 以下のものの個数を \(p(m)\) とする．極限値 \(\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{p(m)}{m}\) を求めよ．
解答・解説
(１) \(f(x)=0\) を満たす正の実数 \(x\) のうち最小
\(\sin 3x+\sin x=(3\sin x-4\sin^3x)+\sin x=-4\sin^3x+4\sin x\)
\(f(x)=0\) \(\iff\) \(-4\sin^3x+4\sin x=0\)
\(\iff\) \(\sin x(\sin x+1)(\sin x-1)=0\)
\(\iff\) \(\sin x=-1,0,1\)
これらを満たす実数 \(x\) のうち，正で最小となるのは \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
(２) 極限値 \(\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{p(m)}{m}\) を求めよ．
\(f(x)=0\) を満たす正の実数 \(x\) を小さい順に \(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\) とおくと
(１)より \(x_{k}=\displaystyle\frac{\pi k}{2}\) ( \(k\) は自然数 ) となる．
正の整数 \(m\) に対して，
\(\displaystyle\frac{\pi k}{2}≦m\) \(\iff\) \(k≦\displaystyle\frac{2m}{\pi}\)
\(k\) は自然数より
\(1≦k≦\displaystyle\frac{2m}{\pi}\) ・・・①
\(p(m)\) は①を満たす整数 \(k\) の個数に一致するので
\(p(m)=\left[\displaystyle\frac{2m}{\pi}\right]\) ・・・②
ただし，\([x]\) は \(x\) を超えない最大の整数を表すものとする．
②より
\(\displaystyle\frac{2m}{\pi}-1<p(m)≦\displaystyle\frac{2m}{\pi}\)
\(m>0\) より \(m\) で割ると
\(\displaystyle\frac{2}{\pi}-\displaystyle\frac{1}{m}<\displaystyle\frac{p(m)}{m}≦\displaystyle\frac{2}{\pi}\)
\(\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{2}{\pi}-\displaystyle\frac{1}{m}\right)=\displaystyle\frac{2}{\pi}\) となるので
はさみうちの原理より
\(\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{p(m)}{m}=\displaystyle\frac{2}{\pi}\)
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