【2022埼玉医科大学・医学部(一部改)】定積分を含む関数(積分区間が定数)

【2022埼玉医科大学・医学部・第１問(2)[一部改]】

\(2\) つの関数 \(f(x)\)，\(g(x)\) が

\(f(x)=3x^2+2x-\displaystyle\int^{3}_{0}g(t) dt\)

\(g(x)=x^2-6x+\displaystyle\int^{2}_{1}f(t) dt\)

を満たすとき，\(f(x)\)，\(g(x)\) を求めよ．

定積分を含む関数について

\(\displaystyle\int^{定数}_{定数}f(t) \enspace dt\) は定数であるから \(A\) ( 定数 ) とおく

\(\displaystyle\int^{3}_{0}g(t) dt=a\)，\(\displaystyle\int^{2}_{1}f(t) dt=b\) とおいて，連立方程式を導きましょう！

\(\displaystyle\int^{3}_{0}g(t) dt=a\)，\(\displaystyle\int^{2}_{1}f(t) dt=b\) とおくと

\(f(x)=3x^2+2x-a\)

\(g(x)=x^2-6x+b\)

\(a=\displaystyle\int^{3}_{0}g(t) dt=\displaystyle\int^{3}_{0}(t^2-6t+b)dt\) より

\(a=\Bigl[\displaystyle\frac{1}{3}t^3-3t^2+bt\Bigr]^{3}_{0}=9-27+3b\)

よって，\(a-3b+18=0\) ・・・①

また，

\(b=\displaystyle\int^{2}_{1}f(t) dt=\displaystyle\int^{2}_{1}(3t^2+2t-a)dt\) より

\(b=\Bigl[t^3+t^2-at\Bigr]^{2}_{1}=8+4-2a-(1+1-a)\)

よって，\(a+b-10=0\) ・・・②

①，②より \(a=3\)，\(b=7\)

したがって，\(f(x)=3x^2+2x-3\)，\(g(x)=x^2-6x+7\)