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【2023共通テスト(第1日程)】数学ⅡB:第2問[1](微分法)|3次関数,円錐に内接する円柱の体積

共通テスト(センター試験)

【2023数学ⅡB(第1日程)】第2問[1](微分法)

[1](1)問題と解答・解説《ア〜ク》

[1](1)解答・解説《ア〜ク》

\(k\) を正の定数とし,\(f(x)=x^2(k-x)\)

\(y=f(x)\) と \(x\) 軸との共有点の座標は,

\(f(x)=0\) \(\iff\) \(x^2(k-x)=0\)

より \(x=0,k\)

よって,\((0,0)\),\((k,0)\) ・・・《ア:④》

また,\(f(x)=-x^3+kx^2\) より

\(f^{\prime}(x)=-3x^2+2kx\) ・・・《イ〜エ》

\(f^{\prime}(x)=-x(3x-2k)\)

\(f^{\prime}(x)=0\) のとき \(x=0,\displaystyle\frac{2k}{3}\)

\(k>0\) より増減表は

\(x\) ・・・ \(0\) ・・・ \(\displaystyle\frac{2k}{3}\) ・・・
\(f^{\prime}(x)\) \(0\) \(0\)
\(f(x)\) ↘️ ↗️ ↘️

\(x=0\) のとき,\(f(x)\) は極小値 \(0\) ・・・《オ:⓪,カ:⓪》

\(x=\displaystyle\frac{2k}{3}\) のとき,\(f(x)\) は極大値 \(\displaystyle\frac{4k^3}{27}\) ・・・《キ:③,ク:⑨》

(2)問題と解答・解説《ケ〜ソ》

(2)解答・解説《ケ〜ソ》

円柱の底面の半径を \(x\),高さを \(h\) とおく

右図のの相似な直角三角形に注目すると

\(9-x:h=9:15\) \(\iff\) \(h=\displaystyle\frac{5}{3}(9-x)\)

よって円柱の体積 \(V\) は

\(V=x^2\pi\cdot h=\displaystyle\frac{5}{3}\pi x^2(9-x)\) ・・・《ケ〜サ》

(1)において,\(k=9\) として考えると

\(V=\displaystyle\frac{5}{3}\pi f(x)\) より

\(0<x<9\) のとき

\(x=\displaystyle\frac{2k}{3}=6\) のとき・・・《シ》

\(V\) は最大値 \(180\pi\) ・・・《ス〜ソ》

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