【2023北海道大学・後期・第１問】
以下で \(e\) は自然対数の底である．必要ならば \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x=e\) を用いてもよい．
(１) \(t>0\) のとき，\(e\) と \(\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t\) の大小を判定し，その結果が正しいことを示せ．
(２) \(t>0\) のとき，\(e^{1-\frac{1}{2t}}\) と \(\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t\) の大小を判定し，その結果が正しいことを示せ．
解答・解説
(１) \(t>0\) のとき，\(e\) と \(\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t\) の大小
\(t>0\) のとき，\(e\) と \(\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t\) の大小は，
これらに自然対数をとった
\(1\) と \(\log{\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t}\) の大小と同値である．
ここで，\(t>0\) のとき
\(f(x)=\log{\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)}^t-1\) とおく．
\(f(t)=t\left\{\log{(t+1)-\log{t}}\right\}-1\)
\(f^{\prime}(x)=\log{(t+1)-\log{t}}+t\left(\displaystyle\frac{1}{t+1}-\displaystyle\frac{1}{t}\right)\)
\(=\log{(t+1)-\log{t}}-\displaystyle\frac{1}{t+1}\)
\(f^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{t+1}-\displaystyle\frac{1}{t}+\displaystyle\frac{1}{(t+1)^2}=\displaystyle\frac{-1}{t(t+1)^2}<0\)
よって，\(f^{\prime\prime}(x)<0\) より \(f^{\prime}(x)\) は単調減少となる．
また \(\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\left\{\log{(t+1)-\log{t}}-\displaystyle\frac{1}{t+1}\right\}\)
\(=\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\left\{\log\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)-\displaystyle\frac{1}{t+1}\right\}=0\) なので
\(f^{\prime}(x)>0\) となる．
ゆえに \(f(x)\) は単調増加となる．
\(\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\left\{\log\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t-1\right\}=\log{e}-1=0\) より
\(f(t)<0\) となる．
したがって，\(\log{\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t<1}\)
すなわち，\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t<e\)
(２) \(t>0\) のとき，\(e^{1-\frac{1}{2t}}\) と \(\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t\) の大小
\(t>0\) のとき，\(e^{1-\frac{1}{2t}}\) と \(\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t\) の大小は
これらに自然対数をとった
\(1-\displaystyle\frac{1}{2t}\) と \(\log{\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t}\) の大小と同値である．
ここで，\(t>0\) のとき
\(g(t)=\log{\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t}-\left(1-\displaystyle\frac{1}{2t}\right)\) とおくと
\(g(t)=f(t)+\displaystyle\frac{1}{2t}\)
\(g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\displaystyle\frac{1}{2t^2}\)
\(g^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)+\displaystyle\frac{1}{t^3}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{t(t+1)^2}+\displaystyle\frac{1}{t^3}=\displaystyle\frac{2t+1}{t^3(t+1)^2}>0\) より
\(g^{\prime}(x)\) は単調増加となる．
また \(\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}g^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\left\{f^{\prime}(t)-\displaystyle\frac{1}{2t^2}\right\}=0\) より
\(g^{\prime}(t)<0\) なので，\(g(t)\) は単調減少となる．
さらに，\(\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}g(t)=\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\left\{f(t)+\displaystyle\frac{1}{2t}\right\}=0\) より
\(g(t)>0\) となる
したがって，\(\log{\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t>1-\displaystyle\frac{1}{2t}}\)
すなわち，\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^t>e^{1-\frac{1}{2t}}\)
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