【2019東洋大学・理系】log(7)2の小数第１位の数字｜不等式評価

考え方

例えば，\(1.6<a<1.7\) を満たす \(a\) の小数第一位の数は \(6\) であるとわかります．

つまり，\(\log_{7}{2}\) を不等式評価することで小数第一の数字は求まります。

それではどうやって評価していくのか？？

本問では対数をとる必要があり，もちろん仮に覚えていても，問題に書かれていませんので．勝手に \(\log_{10}{2}=0.3010\) や \(\log_{10}{3}=0.4771\)のような近似を利用することはできません。

つまり，本問で使える数字は \(\log_{7}{2}\) で登場する「 \(2\) 」と「 \(7\) 」のみ．

そこで例えば，\(7<8=2^3\) のような不等式を上手に考え，底を \(7\) とする対数をとることで，\(\log_{7}{2}\) を不等式評価していきましょう！

ちなみに，

\(7<2^3\) に底を \(7\) とする対数をとると

\(\log_{7}{7}<\log_{7}{2^3}\)

\(1<3\log_{7}{2}\)

\(\displaystyle\frac{1}{3}<\log_{7}{2}\)

つまり，\(0.333\cdots<\log_{7}{2}\) となるため，

答えはおそらく「 \(3\) 」であると予想できます。

あとは，\(\log_{7}{2}<0.4\) のように \(0.4\) より小さい数で不等式評価することができればOK！

頑張って探してみましょう！

解答・解説

\(7<2^3\) に底を \(7\) とする対数をとると

\(\log_{7}{7}<\log_{7}{2^3}\)

\(1<3\log_{7}{2}\)

\(\displaystyle\frac{1}{3}<\log_{7}{2}\) ・・・①

また，\(2^5<7^2\) に底を \(7\) とする対数をとると

\(\log_{7}{2^5}<\log_{7}{7^2}\)

\(5\log_{7}{2}<2\)

\(\log_{7}{2}<\displaystyle\frac{2}{5}\) ・・・②

①，②より \(\displaystyle\frac{1}{3}<\log_{7}{2}<\displaystyle\frac{2}{5}\)

したがって，\(\log_{7}{2}\) の小数 \(1\) 位の数字は \(3\)