【2023一橋大学・第５問】
\(A\) , \(B\) , \(C\) の \(3\) 人が，\(A\) , \(B\) , \(C\) , \(A\) , \(B\) , \(C\) , \(A\) , \(\cdots\) という順番にさいころを投げ，最初に \(1\) を出した人を勝ちとする．だれかが \(1\) を出すか，全員が \(n\) 回ずつ投げたら，ゲームを終了する． \(A\) , \(B\) , \(C\) が勝つ確率 \(P_{A}\) , \(P_{B}\) , \(P_{C}\) をそれぞれ求めよ．
解答・解説
\(k\) を \(1\) 以上 \(n\) 以下の整数として
\(A\) が \(k\) 回さいころを投げて勝つ確率を \(P_{A}(k)\) とする．
\(P_{A}(k)\) は \(A\) , \(B\) , \(C\) がそれぞれ \(k-1\) 回さいころを投げ，すべて \(1\) の目以外が出て， \(A\) が \(k\) 回目で \(1\) を出せばよいので
\(P_{A}(k)=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{3(k-1)}\times \displaystyle\frac{1}{6}\)
よって，
\(P_{A}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{P_{A}(k)}=\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{3(k-1)}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}\times \displaystyle\frac{1-\left\{\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^3\right\}^n}{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^3}\)
よって，\(P_{A}=\displaystyle\frac{36}{91}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{3n}\right\}\)
\(B\) が \(k\) 回さいころを投げて勝つ確率を \(P_{B}(k)\) とする．
\(P_{B}(k)\) は \(A\) , \(B\) , \(C\) がそれぞれ \(k-1\) 回さいころを投げ，すべて \(1\) の目以外が出て， \(A\) が \(k\) 回目で \(1\) 以外の目， \( B\) が \(k\) 回目で \(1\) の目を出せばよいので
\(P_{B}(k)=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{3(k-1)}\times \displaystyle\frac{5}{6}\times \displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{5}{6}P_{A}(k)\)
ゆえに
\(P_{B}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{P_{B}(k)}=\displaystyle\frac{5}{6}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{P_{A}(k)}\) より
\(P_{B}=\displaystyle\frac{30}{91}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{3n}\right\}\)
最後に余事象を考えると
\(P_{C}=1-P_{A}-P_{B}=\displaystyle\frac{25}{91}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{3n}\right\}\)
したがって，
\(P_{A}=\displaystyle\frac{36}{91}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{3n}\right\}\)
\(P_{B}=\displaystyle\frac{30}{91}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{3n}\right\}\)
\(P_{C}=\displaystyle\frac{25}{91}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{3n}\right\}\)
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