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【2022大阪医科薬科大学】看護学部・一般選抜(2科目入試)第1問:解答・解説

数と式

【2022大阪医科薬科大学・看護・[1]】

解答・解説

(1) 対称式の利用

覚えておきたい対称式の公式

・\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)

・\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\)

・\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\)

\(a^4-b^4\) を素直に計算すると,計算ミスのリスクが・・・

また時間もかかりますので,和や積,差の簡単な形に分解し,対称式の公式を利用して簡単に計算しましょう!

\(a=\sqrt{3}+\sqrt{2}\),\(b=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) より

\(a+b=2\sqrt{3}\),\(ab=1\),\(a-b=2\sqrt{2}\) であり,

\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(2\sqrt{3})^2-2\times 1=10\)

\(a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)\) であるから

\(a^4-b^4=10\times 2\sqrt{3}\times 2\sqrt{2}=\)\(40\sqrt{6}\) ・・・( d )

(2) 共分散

\(2\) つの変量 \(x\) , \(y\) のデータが \(n\) 個の \(x\) , \(y\) の値の組として

\(( x_{1} , y_{1} )\) , \(( x_{2} , y_{2} )\) , \(\cdots\) ,  \(( x_{n} , y_{n} )\) のとき,

\(s_{xy}=\displaystyle\frac{1}{n}\left\{\left(x_{1}-\overline{x}\right)\left(y_{1}-\overline{y}\right)+\left(x_{2}-\overline{x}\right)\left(y_{2}-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)\left(y_{n}-\overline{y}\right)\right\}\)

この値 \(s_{xy}\) を共分散という.
( ※ \(\overline{x}\),\(\overline{y}\) はそれぞれ \(x\),\(y\) の平均値 )

共分散以外にも,平均値,中央値,最頻値,分散,標準偏差,相関係数など,一緒に確認しておきたい公式・性質があります。

【2021聖マリアンナ医科大学】データの分析と整数問題|分散の最大・最小

【時短裏技】共通テスト|データの分析(変量の変換・標準化)

をご参考に!

データ \(X\),\(Y\) の平均値をそれぞれ \(\overline{X}\),\(\overline{Y}\) とする.

\(\overline{X}=\displaystyle\frac{1}{6}(2+5+6+8+4+5)=5\)

\(\overline{Y}=\displaystyle\frac{1}{6}(4+6+4+2+7+7)=5\) より

共分散は,

\(\displaystyle\frac{1}{6}\left\{(2-5)(4-5)+(5-5)(6-5)+(6-5)(4-5)\\+(8-5)(2-5)+(4-5)(7-5)+(5-5)(7-5)\right\}\)

\(=-1.5\) ・・・( a )

(3) 文字を含む方程式

文字を含む方程式・不等式
⇒ 因数分解を疑え!

必ず因数分解できるというわけではありませんが,文字を含む方程式・不等式は因数分解ができることが多いです。まず最初に因数分解を疑ってみる習慣を!!

\(x^2-(2a+1)x+2a=0\) ・・・①

\(x^2-ax-3a+1=0\) ・・・②

①より,\((x-1)(x-2a)=0\) \(\iff\) \(x=1,2a\)

・\(x=1\) が共通の実数解となるとき

②に代入して,\(1-a-3a+1=0\)

よって,\(a=\displaystyle\frac{1}{2}\)

・\(x=2a\) が共通の実数解となるとき

②に代入して,\(4a^2-2a^2-3a+1=0\)

\(2a^2-3a+1=0\) \(\iff\) \((a-1)(2a-1)=0\)

よって,\(a=1,\displaystyle\frac{1}{2}\)

以上から,①,②が共通の実数解をもつような定数 \(a\) の値は,( b ) \(2\) 個

(4) 最大公約数と約数の個数

自然数 \(N\) が \(N=a^x b^y c^z \cdots\) と素因数分解できるとき、

\(N\) の正の約数の個数は、\((x+1)(y+1)(z+1)\cdots\) となる.

\(12600=2^3\times 3^2\times 5^2\times 7\)

\(26460=2^2\times 3^3\times 5\times 7^2\) より

\(12600\) と \(26460\) の最大公約数は,\(2^2\times 3^2\times 5\times 7\)

これの正の約数の個数は,

\(3\times 3\times 2\times 2=\)\(36\) 個 ・・・( b ) 

【2022大阪医科薬科大学】看護学部・一般選抜(2科目入試)第2問:解答・解説
2つの2次不等式が共通な実数解の範囲を持たない条件。kが正、0、負のときについて場合分け。2022大阪医療薬科大学・看護学部・一般入試問題、第2問の解説。小問群。私立大学対策。看護数学Ⅰ:2次関数。共通テスト対策。

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