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【数学A】確率Pnの最大値の求め方・考え方(2018関西学院大学)

数学(大学入試問題)

【2018 関西学院大学】

サイコロを 2 個同時に 1 回振って、出た目の数の和が 3 または 11 であれば当たりとし、そうでなければハズレとする.この試行を当たりが 3 回となるまで繰り返すとき、ちょうど \(n\) 回目で終わる確率を \(p(n)\) と表すことにする.

(1) \(p(3)\)、\(p(4)\) を求めよ.

(2) \(n≧3\) に対して、\(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}\) を \(n\) の式で表せ.

(3) \(p(n)\) が最大となる \(n\) の値を求めよ.



はじめに

大学入試で頻出の「確率の最大」の求め方の考え方について解説していきます。

一般的には誘導なしで問われることが多いため、解法の流れを経験したことがないと少し厳しいです。

2018関西学院大学の問題は、誘導が丁寧についた、演習にはもってこいの問題ですので、この問題を使って解法の流れを身につけましょう!

 

(1)反復試行の確率

まず初めに、2 個のサイコロを 1 回振って出た目の和が 3 or 11 となるのは

\(( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 5 , 6 ) , ( 6 , 5 )\) の 4 通り

よって\(\displaystyle\frac{4}{6^2}=\displaystyle\frac{1}{9}\)

 

次に、本問では

サイコロを繰り返し \(n\) 回投げる

👉 反復試行

【反復試行】

1回の試行で事象 A が起こる確率を \(p\) としたとき、この試行を \(n\) 回行う反復試行の確率で、Aがちょうど \(r\) 回起こる確率は

\(_{n}\rm{C}_{r} p^{r} (1-p)^{n-r}\)

 

(1) \(p(3)\) は、3 回ともに当たりとなる確率であるから、

\(p(3)= \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^3=\displaystyle\frac{1}{729}\)

 

\(p(4)\) は、4 回の試行において、

最初の 3 回中 2 回当たり 1 回ハズレ、最後の4 回目当たる確率であるから、

\(p(4)=_{3}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)\times \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)\\=\displaystyle\frac{8}{2187}\)

 

(2)確率の最大値の考え方

(2) \(p(n)\) は \(n\) 回の試行において、

最初の \(n-1\) 回中 2 回当たり \(n-3\) 回ハズレ、最後の \(n\) 回目当たる確率であるから、

\(p(n)=_{n-1}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{n-3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{9})\\right)

よって、

\(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}=\displaystyle\frac{_{n}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{n-2}\times \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)}{_{n-1}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{n-3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)}\)

 

\(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}= \displaystyle\frac{8_{n}\rm{C}_{2}}{9_{n-1}\rm{C}_{2}}=\displaystyle\frac{8n}{9(n-2)}\)

何のために(2)を求めたのか?

👉(2)を求めることが、「確率の最大」

を求める上でPointです!

確率の最大値の求め方(考え方)について

確率の最大値について問われたら、

(Ⅰ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}>1\)

(Ⅱ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}=1\)

(Ⅲ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}<1\)

を満たす \(n\) をそれぞれ考える.

具体例を用いた考え方

例えば、

(Ⅰ) を満たす \(n=1~3\)

(Ⅱ) を満たす \(n=4\)

(Ⅲ) を満たす \(n=5~7\)

だったとします。

これによって何が分かるかと言えば、

 

(Ⅰ) の式は言い換えると、\({p(n+1)}>{p(n)}\) より

\(n=1 , 2 , 3\) をそれぞれ代入することで、

\(p(1)<p(2)<p(3)<p(4)\) ・・・①

 

(Ⅱ) の式は言い換えると、\({p(n+1)}={p(n)}\) より

\(n=4\) をそれぞれ代入することで、

\(p(4)=p(5)\) ・・・②

 

(Ⅲ) の式は言い換えると、\({p(n+1)}<{p(n)}\) より

\(n=5 , 6 , 7\) をそれぞれ代入することで、

\(p(5)>p(6)>p(7)>p(8)\) ・・・③

 

①~③より

\(p(1)<p(2)<p(3)<p(4)= p(5)>p(6)>p(7)>p(8)\)

したがって、\(n=4 , 5\) のときに \(p(n)\) は最大となることが分かる.



(3) 解答

(Ⅰ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}>1\) のとき

(2)より

\(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}= \displaystyle\frac{8_{n}\rm{C}_{2}}{9_{n-1}\rm{C}_{2}}=\displaystyle\frac{8n}{9(n-2)}>1\)

\(8n>9(n-2)\)

\(n<18\)

\(n≧3\) より

\(3≦n<18\)

 

(Ⅱ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}=1\) のとき

\(n=18\)

 

(Ⅲ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}<1\) のとき

\(n>18\)

 

(Ⅰ)~(Ⅲ)より

\(p(3)<p(4)<\cdots <p(18)=p(19)>p(20)>\cdots \)

したがって求める \(n\) の値は、\(n=18 , 19\)

 

最後に

確率の最大を求める作業は、超有名な問題であるにも関わらず、学校の授業では扱われないことが多いです。

今回初めて確率の最大の問題に触れた人は、どの問題集にも載っている(問題集のレベルにもよるが、発展や参考のページに載っていることが多い)かと思いますので、手持ちの問題集で演習をしましょう!

この1問を通して、ただ答えが出せるだけの勉強でなく、どのように考えて問題を解いていくのかを大切に勉強しましょう!

 

場合の数・確率が苦手な人はぜひ

【場合の数】何となくでは絶対にダメ!考え方、規則、数え方を正しく学ぶ1問

\(n\) 人ジャンケン「あいこ」の確率【一般化】

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も読んで考え方を勉強してください。

また、自分の勉強として、ただ問題演習を行うだけの問題集ではない、どのように考えて問題にアプローチするかが非常に詳しく描かれた参考書の「ハッとめざめる確率」で勉強してみてください。

私自身も塾講師を始める前に読みましたが、現役生の時に読んでおけばよかったと後悔しています。

数学の参考書?と思うぐらい文字数が多く、何方かと言えば読み物のような参考書になっています。

この1冊で場合の数・確率の考え方の総まとめができます!


 

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