【2018 関西学院大学】
サイコロを 2 個同時に 1 回振って、出た目の数の和が 3 または 11 であれば当たりとし、そうでなければハズレとする．この試行を当たりが 3 回となるまで繰り返すとき、ちょうど \(n\) 回目で終わる確率を \(p(n)\) と表すことにする．
(1) \(p(3)\)、\(p(4)\) を求めよ．
(2) \(n≧3\) に対して、\(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}\) を \(n\) の式で表せ．
(3) \(p(n)\) が最大となる \(n\) の値を求めよ．
はじめに
大学入試で頻出の「確率の最大」の求め方の考え方について解説していきます。
一般的には誘導なしで問われることが多いため、解法の流れを経験したことがないと少し厳しいです。
2018関西学院大学の問題は、誘導が丁寧についた、演習にはもってこいの問題ですので、この問題を使って解法の流れを身につけましょう！
（１）反復試行の確率
まず初めに、2 個のサイコロを 1 回振って出た目の和が 3 or 11 となるのは
\(( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 5 , 6 ) , ( 6 , 5 )\) の 4 通り
よって\(\displaystyle\frac{4}{6^2}=\displaystyle\frac{1}{9}\)
次に、本問では
サイコロを繰り返し \(n\) 回投げる
👉 反復試行
(1) \(p(3)\) は、3 回ともに当たりとなる確率であるから、
\(p(3)= \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^3=\displaystyle\frac{1}{729}\)
\(p(4)\) は、4 回の試行において、
最初の 3 回中 2 回当たり 1 回ハズレ、最後の4 回目当たる確率であるから、
\(p(4)=_{3}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)\times \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)\\=\displaystyle\frac{8}{2187}\)
（２）確率の最大値の考え方
(2) \(p(n)\) は \(n\) 回の試行において、
最初の \(n-1\) 回中 2 回当たり \(n-3\) 回ハズレ、最後の \(n\) 回目当たる確率であるから、
\(p(n)=_{n-1}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{n-3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{9})\\right)
よって、
\(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}=\displaystyle\frac{_{n}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{n-2}\times \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)}{_{n-1}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{n-3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)}\)
\(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}= \displaystyle\frac{8_{n}\rm{C}_{2}}{9_{n-1}\rm{C}_{2}}=\displaystyle\frac{8n}{9(n-2)}\)
何のために（２）を求めたのか？
👉（２）を求めることが、「確率の最大」
を求める上でPointです！
確率の最大値の求め方(考え方)について
確率の最大値について問われたら、
(Ⅰ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}>1\)
(Ⅱ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}=1\)
(Ⅲ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}<1\)
を満たす \(n\) をそれぞれ考える．
具体例を用いた考え方
例えば、
(Ⅰ) を満たす \(n=1～3\)
(Ⅱ) を満たす \(n=4\)
(Ⅲ) を満たす \(n=5～7\)
だったとします。
これによって何が分かるかと言えば、
(Ⅰ) の式は言い換えると、\({p(n+1)}>{p(n)}\) より
\(n=1 , 2 , 3\) をそれぞれ代入することで、
\(p(1)<p(2)<p(3)<p(4)\) ・・・①
(Ⅱ) の式は言い換えると、\({p(n+1)}={p(n)}\) より
\(n=4\) をそれぞれ代入することで、
\(p(4)=p(5)\) ・・・②
(Ⅲ) の式は言い換えると、\({p(n+1)}<{p(n)}\) より
\(n=5 , 6 , 7\) をそれぞれ代入することで、
\(p(5)>p(6)>p(7)>p(8)\) ・・・③
①～③より
\(p(1)<p(2)<p(3)<p(4)= p(5)>p(6)>p(7)>p(8)\)
したがって、\(n=4 , 5\) のときに \(p(n)\) は最大となることが分かる．
(3) 解答
(Ⅰ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}>1\) のとき
(2)より
\(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}= \displaystyle\frac{8_{n}\rm{C}_{2}}{9_{n-1}\rm{C}_{2}}=\displaystyle\frac{8n}{9(n-2)}>1\)
\(8n>9(n-2)\)
\(n<18\)
\(n≧3\) より
\(3≦n<18\)
(Ⅱ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}=1\) のとき
\(n=18\)
(Ⅲ) \(\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}<1\) のとき
\(n>18\)
(Ⅰ)～(Ⅲ)より
\(p(3)<p(4)<\cdots <p(18)=p(19)>p(20)>\cdots \)
したがって求める \(n\) の値は、\(n=18 , 19\)
最後に
確率の最大を求める作業は、超有名な問題であるにも関わらず、学校の授業では扱われないことが多いです。
今回初めて確率の最大の問題に触れた人は、どの問題集にも載っている（問題集のレベルにもよるが、発展や参考のページに載っていることが多い）かと思いますので、手持ちの問題集で演習をしましょう！
この１問を通して、ただ答えが出せるだけの勉強でなく、どのように考えて問題を解いていくのかを大切に勉強しましょう！
場合の数・確率が苦手な人はぜひ
【場合の数】何となくでは絶対にダメ！考え方、規則、数え方を正しく学ぶ１問
2022共通テスト数学ⅠA【第３問】確率の解説｜完全順列(モンモール数)
も読んで考え方を勉強してください。
また、自分の勉強として、ただ問題演習を行うだけの問題集ではない、どのように考えて問題にアプローチするかが非常に詳しく描かれた参考書の「ハッとめざめる確率」で勉強してみてください。
私自身も塾講師を始める前に読みましたが、現役生の時に読んでおけばよかったと後悔しています。
数学の参考書？と思うぐらい文字数が多く、何方かと言えば読み物のような参考書になっています。
この１冊で場合の数・確率の考え方の総まとめができます！
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