【2023東北大学・理系・第３問】
\(s\) を実数とし，数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) を
\(a_{1}=s\)，\((n+2)a_{n+1}=na_{n}+2\) \((n=1,2,3,\cdots)\)
で定める．以下の問いに答えよ．
(１) \(a_{n}\) を \(n\) と \(s\) を用いて表せ．
(２) ある正の整数 \(m\) に対して \(\displaystyle\sum_{n=1}^{m}{a_{n}}=0\) が成り立つとする．\(s\) を \(m\) を用いて表せ．
解答・解説
(１)
\((n+2)a_{n+1}=na_{n}+2\) の両辺に \(n+1\) をかけると
\((n+1)(n+2)a_{n+1}=n(n+1)a_{n}+2(n+1)\)
ここで \(b_{n}=n(n+1)a_{n}\) とおく．
\(b_{1}=1\cdot 2\cdot a_{1}=2s\)，\(b_{n+1}=b_{n}+2(n+1)\)
\(n≧2\) のとき
\(b_{n}=b_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{2(k+1)}=2s+(n-1)(n+2)\)
これは \(n=1\) のときも成り立つ．
よって \(b_{n}=2s+(n-1)(n+2)\) より
\(n(n+1)a_{n}=2s+(n-1)(n+2)\)
\(a_{n}=\displaystyle\frac{2s+(n-1)(n+2)}{n(n+1)}=\displaystyle\frac{2(s-1)}{n(n+1)}+1\)
(２)
(１)より
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{m}{a_{n}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{m}{\left\{\displaystyle\frac{2(s-1)}{n(n+1)}+1\right\}}\)
\(=2(s-1)\displaystyle\sum_{n=1}^{m}{\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}}+m\)
ここで，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{m}{\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{m}{\left(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)}\)
\(=\left(\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\displaystyle\frac{1}{m}-\displaystyle\frac{1}{m+1}\right)\)
\(=1-\displaystyle\frac{1}{m+1}=\displaystyle\frac{m}{m+1}\) より
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{m}{a_{n}}=2(s-1)\cdot\displaystyle\frac{m}{m+1}+m\)
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{m}{a_{n}}=0\) のとき \(m>0\) より
\(\displaystyle\frac{2(s-1)}{m+1}+1=0\)
これを解くと \(s=\displaystyle\frac{1-m}{2}\)
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