スポンサーリンク

置き換えによる2次関数の最大・最小[4STEP 162番]頻出重要問題

数学(大学入試問題)

【4STEP 162(2)】

次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ.

\(y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)-1\)

 

置き換え⇒範囲チェック!

数学を勉強する上で、最重要ポイントの1つになります!

置き換え ⇒ 範囲の確認
本問は展開をしてしまうと \(4\) 次関数になります。
もちろん、微分を学習していれば最大・最小値を求めることは可能ですが・・・。

そこで、\(t=x^2-2x\) と置き換えをし、\(2\) 次関数に変形しましょう!

その際に重要になるのが、置き換えた文字の範囲を確認することです!

 

補足:どうして範囲の確認が必要なのか

本問では \(x\) に範囲がないにもかかわらず、なぜ置き換えをした \(t\) の範囲を確認する必要があるのか??

具体的な例を用いて、範囲を確認する必要性を確認しておきましょう!

・\(t=x^2-2x\) と置いたとき

 

例① \(t=3\) のとき

\(x^2-2x=3\) \(\iff\) \(x^2-2x-3=0\) \(\iff\) \((x+1)(x-3)=0\)

したがって、\(x=-1,3\)

👉 \(x=-1,3\) とすれば、\(t=3\) という値を取りうることができるということ!

 

例② \(t=-3\) のとき

\(x^2-2x=-3\) \(\iff\) \(x^2-2x+3=0\)

解の公式を考えると、

\(x=1\pm\sqrt{-2}=1\pm\sqrt{2}i\)

👉 \(t=-3\) を取りうる実数 \(x\) は存在しない!

つまり、\(t=-3\) を考えることはダメだということ!

このように存在しない \(t\) が存在するため、置き換えた文字 \(t\) について、範囲の確認が必要となります!

範囲の確認はグラフをかく!

それではどのように置き換えた文字の範囲を確認すれば良いのか?

様々な確認の仕方はありますが、1番確実なものは、グラフを描く(視覚的に考える)ことです。

本問では、\(t=x^2-2x\) と置き換えをしたので、

\(t=(x-1)^2-1\) であるから、

グラフをかくと左図のようになり、

\(t\) が存在するのは \(-1\) 以上であることがわかります。

したがって、\(t≧-1\) になります。

 

解答

\(y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)-1\) ・・・①

①において、\(t=x^2-2x\) とおくと

\(y=t^2+4t-1=(t+2)^2-5\) ・・・②

また、\(t=x^2-2x\) より

\(t=(x-1)^2-1\) であるから、\(t≧-1\) ・・・③

②、③より、グラフを考えると、

\(y\) は \(t=-1\) で最小値 \(-4\) をとる.

このとき、\(x^2-2x=-1\) \(\iff\) \((x-1)^2=0\) \(\iff\) \(x=1\)

ゆえに、\(x=1\) のとき最小値 \(-4\)

最大値はない。

 

最後に

本問では、2次式を別の文字で置き換えた上で、2次関数に落とし込みました。

三角比や指数・対数を \(t\) と置き換え、範囲を考えた上で、2次関数に落とし込み最大・最小を考えるなど、他分野でも同じように考える問題は多数あります。

「置き換えをしたら範囲の確認」という超重要ポイントを、1つの合言葉としてマスターし、様々な問題で応用できるようにしていきましょう!

 

【最重要】軸・範囲が動く2次関数の最大値・最小値の場合分け
2次関数の、「軸が動くMax・min問題」や、「範囲の両端が動くMax・min問題」は定期考査、共通テスト(センター試験)、2次試験まで頻出・重要テーマ。場合分けと聞くと苦手である人が多いが、両方のタイプの解法は全く同じで、完全パターンもの。しっかりとパターンを覚え、早く処理できるように例題を交えて演習。
【頻出】2次関数の解の配置(分離):1より大きい異なる2つの解、異符号の解など2パターン完全マスター
2次関数で絶対におさえたい2テーマのうちの1つ。ただ解を持つだけでなく「ある範囲に解をもつ」タイプの問題(解の配置)を完全マスター。 例:正の異なる2つの実数解。1より大きい異なる2つの解。異符号の解など。定期テストや入試では頻出テーマになります。解法2パターン。

 

コメント

タイトルとURLをコピーしました