【2018九州大学・理・第４問】
整数 \(a\)、\(b\) は \(3\) の倍数でないとし、
\(f(x)=2x^3+a^2x^2+2b^2x+1\) とおく．以下の問いに答えよ．
(１) \(f(1)\) と \(f(2)\) を \(3\) で割った余りをそれぞれ求めよ．
(２) \(f(x)=0\) を満たす整数 \(x\) は存在しないことを示せ．
(３) \(f(x)=0\) を満たす有理数 \(x\) が存在するような組 \((a,b)\) をすべて求めよ．
(１)平方数・指数はmod 3，mod 4 が有効
(１)において、\(f(1)=a^2+2b^2+3\)、\(f(2)=4a^2+4b^2+17\) となり、
\(a^2\)、\(b^2\) (平方数)が共に現れる．
ここで、整数問題を扱う上ではよく出題されるPointの１つ！
まずは下の表を見てください。
平方数において
何かの２乗（平方数）において、
mod 3→「１，１，０」の繰り返し
mod 4→「１，０」の繰り返し
という規則が存在！
指数に関しても、同様に考えると規則を持つことが確認できる。
詳しくは類題として「2021 兵庫県立大学【整数】平方数には合同式(mod)を使え！」を参考にしてください。
また、合同式をまだ学習していない、または不安と言う人は、
で合同式をマスターしよう！
整数問題において、合同式が使えないのは致命的です・・・。
合同式は整数問題を扱う上で必須アイテム！しっかりとマスターしておきましょう！
参考:平方数とmod ３、４、５、８について
上で紹介したように、平方数と合同式は非常に相性抜群です！
特に \(mod 3\) や \(mod 4\) は頻出ですので絶対に抑え、さらに参考として、\(mod 5\)、\(mod 8\) についても 紹介しておきます。
- mod ３ ➡ 「０、１」のみ
- mod ４ ➡ 「０、１」のみ
- mod ５ ➡ 「０、１、４」のみ
- mod ８ ➡ 「０、１、４」のみ
(１)解答
【2018九州大学・理・第４問】
整数 \(a\)、\(b\) は \(3\) の倍数でないとし、
\(f(x)=2x^3+a^2x^2+2b^2x+1\) とおく．以下の問いに答えよ．
(１) \(f(1)\) と \(f(2)\) を \(3\) で割った余りをそれぞれ求めよ．
以下、\(mod3\) として考える．
\(a\)、\(b\) は \(3\) の倍数でない整数であるから、
\(a≡\pm1\)、\(b≡\pm1\) であるため、
\(a^2≡1\)、\(b^2≡1\) となる．
このとき、
\(f(1)=a^2+2b^2+3≡1+2\times1+0≡0\)
\(f(2)=4a^2+4b^2+17≡4\times1+4\times1+2≡1\) であるから、
\(f(1)\)、\(f(2)\) を \(3\) で割った余りは順に、\(0\)、\(1\)
(２)解答[背理法の利用]
【2018九州大学・理・第４問】
整数 \(a\)、\(b\) は \(3\) の倍数でないとし、
\(f(x)=2x^3+a^2x^2+2b^2x+1\) とおく．以下の問いに答えよ．
(１) \(f(1)\) と \(f(2)\) を \(3\) で割った余りをそれぞれ \(0\)、\(1\) とわかった．
(２) \(f(x)=0\) を満たす整数 \(x\) は存在しないことを示せ．
存在しないことの証明は、背理法を利用することが多い！
存在すると仮定して、矛盾を導きましょう！
\(f(x)=0\) を満たす整数 \(x\) が存在すると仮定する．
このとき、\(n\) を整数とすると、
\(f(n)=0\) \(\iff\) \(2n^3+a^2n^2+2b^2n+1=0\) ・・・①
①より
\(n(2n^2+a^2n+2b^2)=-1\) ・・・②
\(a\)、\(b\)、\(n\) は整数であるから、\(n=\pm1\)
( ⅰ ) \(n=1\) のとき
①より、\(a^2+2b^2+3=0\) となるが、
左辺に注目すると、\(a^2+2b^2+3>0\) であるため、これは不適である．
( ⅱ ) \(n=-1\) のとき
①より、\(a^2-2b^2-1=0\)
ここで、左辺を \(3\) で割った余りに注目する( \(mod3\) で考える )と、
\(a^2≡1\)、\(b^2≡1\) であるから、
\(a^2-2b^2-1≡1-2\times1-1=-2≡1\) となり、これは不適である．
したがって、\(f(x)=0\) を満たす整数 \(x\) は存在しない
(３)解答
【2018九州大学・理・第４問】
整数 \(a\)、\(b\) は \(3\) の倍数でないとし、
\(f(x)=2x^3+a^2x^2+2b^2x+1\) とおく．以下の問いに答えよ．
(１) \(f(1)\) と \(f(2)\) を \(3\) で割った余りをそれぞれ \(0\)、\(1\) とわかった．
(２) \(f(x)=0\) を満たす整数 \(x\) は存在しないことを示した．
(３) \(f(x)=0\) を満たす有理数 \(x\) が存在するような組 \((a,b)\) をすべて求めよ．
有理数と言われたら、まずは初期設定はこれでしょう！
任意の有理数 \(\displaystyle\frac{q}{p}\) とおく．
ただし、\(p\)、\(q\) は互いに素な整数で、\(p≧1\) とする．
(２)より、\(f(x)=0\) を満たす整数 \(x\) は存在しないため、\(p=1\) のときは不適である．
つまり、\(p≧2\) の整数とおける．このとき、
\(f\left(\displaystyle\frac{q}{p}\right)=0\) とすると、
\(2\left(\displaystyle\frac{q}{p}\right)^3+a^2\left(\displaystyle\frac{q}{p}\right)^2+2b^2\left(\displaystyle\frac{q}{p}\right)+1=0\)
式を整理すると、
\(2q^3=-p(a^2q^2+2b^2pq+p^2)\) ・・・③
\(p\) は \(2q^3\) の約数であるが、\(p\)、\(q\) は互いに素な整数で、\(p≧2\) であるため、\(p=2\) となる．
③より、
\(2q^3=-2(a^2q^2+4b^2q+4)\)
\(q^3=-a^2q^2-4b^2q-4\)
\(4=-q(q^2+a^2q+4b^2)\)・・・④
④より、 \(q\) は \(4\) の約数で、\(p(=2)\) とは互いに素な整数であるから、\(q=\pm1\)
(ア) \(q=1\) のとき
④より、\(a^2+4b^2+5=0\) となるが、\(a^2+4b^2+5>0\) であるため不適である．
(イ) \(q=-1\) のとき
④より、\(-a^2+4b^2-3=0\)
\((2b+a)(2b-a)=3\)
\((2b+a,2b-a)=(3,1) , (1,3) , (-3,-1) , (-1,-3)\)
したがって、\((a,b)=(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)\)
最後に
(３)については正直難しいです。
ただ(１)、(２)については整数問題の中ではよく出題される典型問題ですから、しっかりと得点できるようにしておきましょう！
(３)については最後まで解けなくても、初期設定など、部分点を取ることができれば、十分に合格ラインは超えられます！
整数問題は、経験の差が合否の差としてはっきりと出てきます。このブログでは、授業(教科書)ではあまり扱わないが、入試では頻出の整数問題を中心に、差がつく分野を取り扱っています。
塾に通っていない、整数問題を武器にしたい受験生は是非他の記事も参考に、整数問題を得意分野にしてください！
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