【2021数学ⅡB(第1日程)】第１問[１](三角関数)
(１)問題と解答・解説《ア〜エ》
解答・解説《ア〜エ》
\(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) において
\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) , \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・《ア》
であるから，三角関数の合成により
\(y=2\left(\sin \theta\cdot\displaystyle\frac{1}{2}+\cos \theta\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(=2\left(\sin\theta\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}+\cos \theta\sin\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\)
\(=2\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) ・・・《イ》
よって，\(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき
\(\displaystyle\frac{\pi}{3}≦\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}≦\displaystyle\frac{5\pi}{6}\) なので
\(y\) は \(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
つまり \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) で最大値： \(2\) ・・・《ウエ》
(２)( ⅰ )問題と解答・解説《オ〜カ》
解答・解説《オ〜カ》
\(p=0\) のとき
\(y=\sin \theta\) は \(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) において
\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) で最大値： \(1\) ・・・《オカ》
(２)( ⅱ ),( ⅲ )問題と解答・解説《キ〜ス》
解答・解説《キ〜ス》
( ⅱ ) \(p>0\) のとき
\(\sin\theta+p\cos\theta=\sqrt{1+p^2}\left(\cos\theta\cdot\displaystyle\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}+\sin\theta\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}\right)\)
\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}\) , \(\cos\alpha=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\) ・・・《ク：①，ケ：③》
とすると与式は，
\(y=\sqrt{1+p^2}\left(\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right)=\sqrt{1+p^2}\cos\left(\theta-\alpha\right)\) ・・・《キ：⑨》
と表すことができる．
よって，\(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき
\(-\alpha≦\theta-\alpha≦\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\) なので
\(y\) は \(\theta-\alpha=0\)
つまり，\(\theta=\alpha\) で最大値： \(\sqrt{1+p^2}\) ・・・《コ：①,サ：⑨》
( ⅲ ) \(p<0\) のとき
\(p=-q\) ( \(q>0\) ) とおくと
\(y=\sin \theta+p\cos \theta=\sin \theta-q\cos \theta\)
\(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき
\(\sin \theta\) は増加，\(\cos \theta\) は減少する．
\(q>0\) より \(y\) は増加する．
したがって，
\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき最大値：\(1\) ・・・《シ：②,ス：①》
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