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【2021共通テスト】数学ⅡB:第1問[1](三角関数)|sin,cosの合成・最大値

数学(大学入試問題)

【2021数学ⅡB】第1問[1](三角関数)

(1)問題と解答・解説《ア〜エ》

解答・解説《ア〜エ》

\(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) において

\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) , \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・《ア》

であるから,三角関数の合成により

\(y=2\left(\sin \theta\cdot\displaystyle\frac{1}{2}+\cos \theta\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(=2\left(\sin\theta\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}+\cos \theta\sin\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\)

\(=2\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) ・・・《イ》

よって,\(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき

\(\displaystyle\frac{\pi}{3}≦\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}≦\displaystyle\frac{5\pi}{6}\) なので

\(y\) は \(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

つまり \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) で最大値: \(2\) ・・・《ウエ》

(2)( ⅰ )問題と解答・解説《オ〜カ》

解答・解説《オ〜カ》

\(p=0\) のとき

\(y=\sin \theta\) は \(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) において

\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) で最大値: \(1\) ・・・《オカ》

(2)( ⅱ ),( ⅲ )問題と解答・解説《キ〜ス》

解答・解説《キ〜ス》

( ⅱ ) \(p>0\) のとき

\(\sin\theta+p\cos\theta=\sqrt{1+p^2}\left(\cos\theta\cdot\displaystyle\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}+\sin\theta\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}\right)\)

\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}\) , \(\cos\alpha=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\) ・・・《ク:①,ケ:③》

とすると与式は,

\(y=\sqrt{1+p^2}\left(\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right)=\sqrt{1+p^2}\cos\left(\theta-\alpha\right)\) ・・・《キ:⑨》

と表すことができる.

よって,\(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき

\(-\alpha≦\theta-\alpha≦\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\) なので

\(y\) は \(\theta-\alpha=0\)

つまり,\(\theta=\alpha\) で最大値: \(\sqrt{1+p^2}\) ・・・《コ:①,サ:⑨》

( ⅲ ) \(p<0\) のとき

\(p=-q\) ( \(q>0\) ) とおくと

\(y=\sin \theta+p\cos \theta=\sin \theta-q\cos \theta\)

\(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき

\(\sin \theta\) は増加,\(\cos \theta\) は減少する.

\(q>0\) より \(y\) は増加する.

したがって,

\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき最大値:\(1\) ・・・《シ:②,ス:①》

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