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【2023上智大学・経済】紙を三つ折りで何回折ると10000mを超えるか

2023年入試問題

【2023上智大学・経済・第1問(1)】

厚さ \(0.09\) \(mm\) の紙を三つ折りで \(1\) 回折りたたむと元の厚さの \(3\) 倍になる.折りたたんだ紙の厚さが初めて \(10000\) \(m\) を超えるのは三つ折りで [  ア  ] 回折りたたんだときである.ただし,紙は何回でも折りたためるものとし,\(\log_{10}{3}=0.4771\) とする.

解答・解説

\(0.09\) \(mm\) \(=9\times 10^{-5}\) \(m\) であり,

\(1\) 回三つ折りにする度に紙の厚さが \(3\) 倍になるので,

\(n\) 回折りたたむとすると,紙の厚さは \(9\times 10^{-5}\times 3^n\) \(m\) になる.

これが,\(10000\) \(m\) を超えるのは

\(9\times 10^{-5}\times 3^n>10000\)

\(3^{n+2}>10^9\)

両辺正より底を \(10\) とする対数(常用対数)をとると

\(\log_{10}{3^{n+2}}>\log_{10}{10^9}\)

\((n+2)\log_{10}{3}>9\)

\(n>\displaystyle\frac{9}{\log_{10}{3}}-2=\displaystyle\frac{9}{0.4771}-2=16.86\cdots\)

したがってこれを満たす最小の整数 \(n\) は \(17\)

おまけ(雑学)

実際に紙を \(17\) 回も折ることってできるんですか??

紙のサイズに関わらず,実際に紙を折れる回数の限度は \(7\) 〜 \(8\) 回です!

(※ギネス記録で \(12\) 回だそうです!)

ちなみに今回の問題は三つ折りですから,\(17\) 回は絶対に無理ですね!そのため,問題文に注釈として「ただし,紙は何回でも折りたためるもの」が入っています!

この一文がないと,解答は「そんなにたくさん折れない」が正解になってしまいますね()

ちなみに,何回でも折れるとすると,

\(0.1 mm\) の紙を二つ折りで \(42\) 回折ると,

地球から約 \(38\) 万 \(km\) 離れた月に届きます!よかったら計算してみてください!

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