【定義】
自然数 \(n\) に対して，
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n=e\)
と定める．
\(e\) のことをネイピア数といい、
\(e=2.7182818\cdots\) と続く値です。
定義を覚え、また次の５つの定理もセットで確認しておきましょう！
\(5\) つの定理
\(x\) , \(u\) , \(h\) は実数とする．
(１) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x=e \)
(２) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x=e\)
(３) \(\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e\)
(４) \(\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\log(1+u)}{u}=1\)
(５) \(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^h-1}{h}=1\)
(１)証明
正の実数 \(x\) に対して，\(n≦x≦n+1\) を満たす自然数 \(n\) が存在する．
このとき，
\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x<\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^{n+1}\)
が成り立つ．
\(x\rightarrow\infty\) のとき，\(n\rightarrow\infty\) であり
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)^n=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\cdot\displaystyle\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}=e\cdot1=e\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n\cdot\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)=e\cdot1=e\)
よって，はさみうちの原理より \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x=e\)
自然数 \(n\) だけでなく，実数 \(x\) で成り立つことが分かりましたね！
(２)証明
\(y=-x\) とおくと，\(x\rightarrow -\infty\) のとき \(y\rightarrow\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{y\rightarrow\infty}\left(1-\displaystyle\frac{1}{y}\right)^{-y}\)
\(=\displaystyle\lim_{y\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{y}{y-1}\right)^y\)
\(=\displaystyle\lim_{y\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{y-1}\right)^{y-1}\cdot\left(1+\displaystyle\frac{1}{y-1}\right)=e\cdot1=e\)
(３)証明
\(u=\displaystyle\frac{1}{x}\) とおくと，(１)，(２)より明らかに成り立つ．
(４)証明
(３)において，自然対数をとると
\(\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0}\log(1+u)^{\frac{1}{u}}=\log e\)
よって，\(\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\log(1+u)}{u}=1\)
(５)証明
\(u=e^h-1\) とおく．
\(h=\log(1+u)\) であり，\(h\rightarrow 0\) のとき \(u\rightarrow 0\) であるから，
\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^h-1}{h}=\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0}\displaystyle\frac{u}{\log(1+u)}=1\)
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