【2022藤田医科大学(後期)】
\(x>0\) において \(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{2}{x^2}\) の最小値を求めよ.
相加平均・相乗平均の関係を利用した解法
考え方
\(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{2}{x^2}\) について
この式の形を見たときに、相加相乗は使えないか??と一瞬頭をよぎることができましたか??
相加相乗平均の関係については、
「相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(発展)」や
「3つの相加・相乗平均の関係|実践問題【慶応義塾大学】」を参考にしてください。
しかし,与式にそのまま相加平均・相乗平均の関係を用いても,
\(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{2}{x^2}≧2\sqrt{\displaystyle\frac{x}{2}\cdot\displaystyle\frac{2}{x^2}}=2\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}}\)
となり,ルートの中に \(x\) が残ってしまう・・・
そこで,
解答・解説
\(x>0\) において
\(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{2}{x^2}=\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{2}{x^2}\)
\(3\) つの相加平均・相乗平均の関係
\(a≧0\)、\(b≧0\)、\(c≧0\) のとき
\(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}≧\sqrt[3]{abc}\)
等号成立は \(a=b=c\) のとき
\(x>0\) であるから,相加平均・相乗平均の関係より
\(\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{2}{x^2}≧3\sqrt[3]{\displaystyle\frac{x}{4}\cdot\displaystyle\frac{x}{4}\cdot\displaystyle\frac{2}{x^2}}=\displaystyle\frac{3}{2}\)
等号成立は,\(\displaystyle\frac{x}{4}\)\(\left(=\displaystyle\frac{x}{4}\right)\)\(=\displaystyle\frac{2}{x^2}\)
つまり,\(x^3=8\) で \(x>0\) より \(x=2\) のとき
したがって,\(x=2\) のとき最小値は \(\displaystyle\frac{3}{2}\)
【参考】数学Ⅲの微分を利用した解法
\(f(x)=\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{2}{x^2}\) ( \(x>0\) )とおく
\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{4}{x^3}=\displaystyle\frac{x^3-8}{2x^3}\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}h(x)=\infty \)
\(x\rightarrow\infty\) のとき,関数 \(y=f(x)\) は,
\(y=\displaystyle\frac{x}{2}\) を漸近線として無限大に発散していく!
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