\(_{n}\rm{C}_{r} \) に関する性質まとめ

組合せ \(C\) とは？

組合せとは、いくつかの物の中から一部を取り出して組を作ること

選び出すだけであり、並べる順序は考えない

※組合せを意味する英単語「Combination」の頭文字 \(C\) をとっている．

知っておきたい公式３つ

覚え方のイメージ

\(n=10\) 人の受験生から \(r=3\) 人の合格者を選ぶ方法を考える

１．「合格者の選び方」と「不合格者の選び方」は同じであるから

\(_{10}\rm{C}_{3}=_{10}\rm{C}_{10-3} \)

つまり

\(_{n}\rm{C}_{r}=_{n}\rm{C}_{n-r} \) が成立

２．「合格者の選び方」は、

(ア)「私が合格する場合」

(イ)「私が不合格の場合」を合わせたものである．

(ア)について

私が合格をするので、残りの \((10-1)\) 人から、残りの合格者 \((3-1)\) 人を選ぶ

つまり、\(_{10-1}\rm{C}_{3-1}\) 通り

(イ)について

私が不合格なので、残りの \((10-1)\) 人から、残りの合格者 \(3\) 人を選ぶ

つまり、\(_{10-1}\rm{C}_{3}\) 通り

(ア)、(イ)の合計が、\(10\) 人から合格者 \(3\) 人を選ぶ方法に等しい

つまり、\(_{10}\rm{C}_{3} \) に等しいので、

\(_{10}\rm{C}_{3}=_{10-1}\rm{C}_{3-1}+_{10-1}\rm{C}_{3} \)

よって、\(_{n}\rm{C}_{r}=_{n-1}\rm{C}_{r-1}+_{n-1}\rm{C}_{r} \)

３．については

「合格者の中から \(1\) 人の特待生を決める方法を考える」

(ア)　合格者を決めた後に特待生を決める場合

合格者の選び方は、\(_{10-1}\rm{C}_{3}\)

その合格者 \(3\) 人から \(1\) 人、特待生を決めるので、\(3\) 通り

よって、\(3\times _{10-1}\rm{C}_{3}\)

(つまり、\(r\cdot _{n}\rm{C}_{r}\))

(イ)　先に特待生を決め、その後に残りの合格者を決める場合

\(10\) 人の中から特待生を \(1\) 人決めるので、\(10\) 通り

その特待生は当然合格者であるから、

残りの \((10-1)\) 人から、残りの合格者 \((3-1)\) 人を選ぶ

\(_{10-1}\rm{C}_{3-1}\) 通り

よって、\(10\times _{10-1}\rm{C}_{3-1}\)

(つまり、\(n\cdot _{n-1}\rm{C}_{r-1} \))

(ア)と(イ)は等しいので、

\(3\times _{10-1}\rm{C}_{3}=10\times _{10-1}\rm{C}_{3-1}\)

つまり、

\(r\cdot _{n}\rm{C}_{r}=n\cdot _{n-1}\rm{C}_{r-1} \)

\(_{n}\rm{C}_{r} \) の和について

\(a=1 , b=x\) とすると、

例えば、 \(x=1\) とすると、

の性質が導ける．

他にも、\(x=-1\) を代入したり、その他の値を代入することで、様々な性質を導くことが出来る．