\(_{n}\rm{C}_{r} \) に関する性質まとめ
組合せ \(C\) とは?
組合せとは、いくつかの物の中から一部を取り出して組を作ること
選び出すだけであり、並べる順序は考えない
※組合せを意味する英単語「Combination」の頭文字 \(C\) をとっている.
\(n\) 個の中から異なる \(r\) 個を取り出す組み合わせの場合の数は、
\(_{n}\rm{C}_{r} \) 通り
1.\(_{n}\rm{C}_{r}=\displaystyle\frac{_{n}\rm{P}_{r}}{r!}= \displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1} \)
2.\(_{n}\rm{C}_{r}= \displaystyle\frac {n!}{r!(n-r)!}\)
※\(_{n}\rm{C}_{n}=1 \)、\(_{n}\rm{C}_{0}=1 \) と定める.
知っておきたい公式3つ
1.\(_{n}\rm{C}_{r}=_{n}\rm{C}_{n-r} \)
2.\(_{n}\rm{C}_{r}=_{n-1}\rm{C}_{r-1}+_{n-1}\rm{C}_{r} \)
3.\(r\cdot _{n}\rm{C}_{r}=n\cdot _{n-1}\rm{C}_{r-1} \)
覚え方のイメージ
\(n=10\) 人の受験生から \(r=3\) 人の合格者を選ぶ方法を考える
1.「合格者の選び方」と「不合格者の選び方」は同じであるから
\(_{10}\rm{C}_{3}=_{10}\rm{C}_{10-3} \)
つまり
\(_{n}\rm{C}_{r}=_{n}\rm{C}_{n-r} \) が成立
2.「合格者の選び方」は、
(ア)「私が合格する場合」
(イ)「私が不合格の場合」を合わせたものである.
(ア)について
私が合格をするので、残りの \((10-1)\) 人から、残りの合格者 \((3-1)\) 人を選ぶ
つまり、\(_{10-1}\rm{C}_{3-1}\) 通り
(イ)について
私が不合格なので、残りの \((10-1)\) 人から、残りの合格者 \(3\) 人を選ぶ
つまり、\(_{10-1}\rm{C}_{3}\) 通り
(ア)、(イ)の合計が、\(10\) 人から合格者 \(3\) 人を選ぶ方法に等しい
つまり、\(_{10}\rm{C}_{3} \) に等しいので、
\(_{10}\rm{C}_{3}=_{10-1}\rm{C}_{3-1}+_{10-1}\rm{C}_{3} \)
よって、\(_{n}\rm{C}_{r}=_{n-1}\rm{C}_{r-1}+_{n-1}\rm{C}_{r} \)
3.については
「合格者の中から \(1\) 人の特待生を決める方法を考える」
(ア) 合格者を決めた後に特待生を決める場合
合格者の選び方は、\(_{10}\rm{C}_{3}\)
その合格者 \(3\) 人から \(1\) 人、特待生を決めるので、\(3\) 通り
よって、\(3\times _{10}\rm{C}_{3}\)
(つまり、\(r\cdot _{n}\rm{C}_{r}\))
(イ) 先に特待生を決め、その後に残りの合格者を決める場合
\(10\) 人の中から特待生を \(1\) 人決めるので、\(10\) 通り
その特待生は当然合格者であるから、
残りの \((10-1)\) 人から、残りの合格者 \((3-1)\) 人を選ぶ
\(_{10-1}\rm{C}_{3-1}\) 通り
よって、\(10\times _{10-1}\rm{C}_{3-1}\)
(つまり、\(n\cdot _{n-1}\rm{C}_{r-1} \))
(ア)と(イ)は等しいので、
\(3\times _{10}\rm{C}_{3}=10\times _{10-1}\rm{C}_{3-1}\)
つまり、
\(r\cdot _{n}\rm{C}_{r}=n\cdot _{n-1}\rm{C}_{r-1} \)
\(_{n}\rm{C}_{r} \) の和について
\(_{n}\rm{C}_{r} \) の和
☞ 二項定理
\(\boldsymbol{(a+b)^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0}a^{n}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1}a^{n-1}b+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1}ab^{n-1}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}b^{n}}\)
\(\boldsymbol{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \hspace{0mm} _{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{n-k}b^{k}}\)
\(a=1 , b=x\) とすると、
例えば、 \(x=1\) とすると、
の性質が導ける.
他にも、\(x=-1\) を代入したり、その他の値を代入することで、様々な性質を導くことが出来る.
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