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【2022共通テスト】数学ⅡB:第1問[1](図形と方程式)|円の接線の方程式

数学(大学入試問題)

【2022数学ⅡB】第1問[1](図形と方程式)

(1)問題と解答・解説《ア〜イ》

解答・解説《ア〜イ》

\(x^2+y^2-4x-10y+4≦0\) より

\((x-2)^2+(y-5)^2≦25\)

よって,領域 \(D\) は

中心が点 \((2,5)\) , 半径 \(5\) の円の周および内部 ・・・《ア〜エ》

(2)ー( ⅰ )問題と解答・解説《オ》

解答・解説《オ》

円 \(C\) は,中心 \((2,5)\) , 半径 \(5\) の円であり,

それを図示すると右図のようになる.

よって, \(A (-8 , 0)\) を通る円 \(C\) の接線の \(1\) つは

\(x\) 軸つまり,\(y=0\) ・・・《オ》

 

(2)ー( ⅱ )問題と解答・解説《カ》

解答・解説《カ》

\(y=k(x+8)\) を \(x^2+y^2-4x-10y+4=0\) に代入しまとめると

\((k^2+1)x^2+(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0\)

を得るので,これが重解をもつ(⓪)とき \(k\) の値が接線の傾きとなる.・・・《オ》

(2)ー( ⅲ )問題と解答・解説《キ〜ケ》

解答・解説《キ〜ケ》

右図より,\(\tan θ=\displaystyle\frac{5}{10}=\)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・《キク》

であり,直線 \(y=0\) と異なる接線の傾きは

\(\tan 2\theta\) (①) ・・・《ケ》

と表すことができる.

(2)ー( ⅲ )問題と解答・解説《コ〜シ》

解答・解説《コ〜シ》

( ⅱ ) の考えについての解答

\((k^2+1)x^2+(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0\) が重解をもつとき

判別式を \(D\) とすると,

\(\displaystyle\frac{D}{4}=(8k^25k-2)^2-(k^2+1)(64k^2-80k+4)=0\)

\(75k^2-100k=0\)

よって,\(k=0,\displaystyle\frac{4}{3}\)

したがって,\(k_{0}=\displaystyle\frac{4}{3}\) ・・・《コサ》

( ⅲ ) の考えについての解答

\(2\) 倍角の公式から

\(\tan 2\theta=\displaystyle\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2\theta}\)

\(\tan \theta=\displaystyle\frac{1}{2}\) より

\(k_{0}=\displaystyle\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\displaystyle\frac{4}{3}\) ・・・《コサ》

最後に,直線 \(y=k(x+8)\) と領域 \(D\) が共有点をもつような \(k\) の値の範囲は,

\(0≦k≦k_{0}\) ・・・《シ》

【2022共通テスト】数学ⅡB:第1問[2](指数関数・対数関数)
対数の性質、不等式に関する問題。例題をもとに誘導形式で一般化へ。底の値について場合分けして考える。後半は文字も多く、やや難。大学共通テスト対策。センター試験過去問演習。数学ⅡB:指数関数・対数関数。

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