【2011京都大学】置換積分、三角関数の積分(x=asinθ)｜数学Ⅲ：積分の計算

【2011京都大学・理系・第１問[２]】

定積分 $\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}(x+1)\sqrt{1-2x^2} dx$ を求めよ．

根号(ルート)を含む積分についての有名・基本例題は⏬で確認を！

【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ②根号(ルート)を含む積分

ルート(１次式)、asinθ、x+√(x^2+a)=t の置換積分。有名解法、置換積分の解法手順・考え方のまとめ。数学Ⅲ積分の計算

解答・解説

(与式) を $I$ とおく.

$I=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}x\sqrt{1-2x^2} dx+\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}\sqrt{1-2x^2} dx$ より

$I_{1}=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}x\sqrt{1-2x^2} dx$ , $I_{2}=\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}\sqrt{1-2x^2} dx$ とおく．

$I_{1}$ について

$t=1-2x^2$ とおくと

$\displaystyle\frac{dt}{dx}=-4x$ ,

$x$ : $0 \rightarrow \displaystyle\frac{1}{2}$ のとき $t$ : $1 \rightarrow \displaystyle\frac{1}{2}$ より

$I_{1}=-\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{1} t^{\frac{1}{2}}dt$

$=-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\displaystyle\frac{2}{3}\Bigl[t^{\frac{3}{2}}\Bigr]^{\frac{1}{2}}_{1}$

$=\displaystyle\frac{1}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{24}$

$I_{2}$ について

$I_{2}=\sqrt{2}\displaystyle\int^{\frac{1}{2}}_{0}\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}-x^2} dx$

$x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta$ とおくと

$\displaystyle\frac{dx}{d \theta}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta$ ，

$x$ : $0 \rightarrow \displaystyle\frac{1}{2}$ のとき $\theta$ : $0 \rightarrow \displaystyle\frac{\pi}{4}$ より

$I_{2}=\sqrt{2}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^2\theta}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta d \theta$

$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos^2 \theta d \theta$

$=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\displaystyle\frac{1+\cos 2 \theta}{2} d \theta$

$=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\Bigl[ \theta+\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2 \theta\Bigr]^{\frac{\pi}{4}}_{0}$

$=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{16}\pi+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8}$

したがって求める定積分の値は，

$I=I_{1}+I_{2}$

$=\displaystyle\frac{1}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{24}+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{16}\pi+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8}$

$=\displaystyle\frac{1}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{16}\pi$

【2012京都大学】部分積分、tanθの置換積分｜数学Ⅲ：積分の計算

部分積分と置換積分の教科書レベルの基本的な内容の積分計算。京大2012年度過去問対策。入試演習。数学Ⅲ：積分。2012京都大学・理系・第１問[２]