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【頻出】sinxcosx(sinxとcosxの積)を含む関数の最大・最小値問題

数学(大学入試問題)

【問題】\(0≦x<2\pi\) のとき,次の関数の最大値と最小値を求めよ.

(1) \(y=5\cos^2x+6\sin x\cos x-3\sin^2x\)

(2) \(y=\sqrt{2}(\sin x+\cos x)-\sin x\cos x-1\)

\(\sin x\cos x\) を含む関数の最大・最小の解法2パターン

方針①半角の公式 ⇒ 三角関数の合成

与式の中に,\(\sin x\cos x\) 以外に『 \(\sin^2x\) , \(\cos^2x \) 』を含むとき

半角の公式を利用し,三角関数の合成へ!

半角の公式

\(\sin^2x=\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}\) , \(\cos^2x=\displaystyle\frac{1+\cos 2x}{2}\)

三角関数の合成

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)\) 

ただし,\(\sin \alpha=\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(\cos \alpha=\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

方針②置き換え,式変形,範囲の確認

与式に \(\sin x\cos x\) 以外に『 \(\sin x+\cos x\) 』の形を含むとき

\(t=\sin x+\cos x\) と置き換え&式変形&範囲の確認

置き換えをしたら必ず \(t\) の範囲の確認をする癖を!

解答

(1)解答

\(0≦x<2\pi\) のとき,次の関数の最大値と最小値を求めよ.

(1) \(y=5\cos^2x+6\sin x\cos x-3\sin^2x\)

\(\sin^2x=\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}\) , \(\cos^2x=\displaystyle\frac{1+\cos 2x}{2}\)

また,\(\sin x\cos x=\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x\) より

\(y=5\cdot\displaystyle\frac{1+\cos 2x}{2}+6\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x-3\cdot\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}\)

\(=3\sin 2x+4\cos 2x+1\)

\(=5\sin(2x+\alpha)+1\)

ただし,\(\sin \alpha=\displaystyle\frac{4}{5}\) , \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{3}{5}\)

\(0≦x<2\pi\) のとき

\(-1≦\sin (2x+\alpha)≦1\) より

\(-4≦5\sin (2x+\alpha)+1≦6\)

\(-4≦y≦6\)

したがって,最大値: \(6\) , 最小値: \(-4\)

(2)解答

【問題】\(0≦x<2\pi\) のとき,次の関数の最大値と最小値を求めよ.

(2) \(y=\sqrt{2}(\sin x+\cos x)-\sin x\cos x-1\)

\(t=\sin x+\cos x\) とおく.

\(t^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x\) より

\(\sin x\cos x=\displaystyle\frac{t^2-1}{2}\) であるから

\(y=\sqrt{2}t-\displaystyle\frac{t^2-1}{2}-1\)

よって,

\(y=-\displaystyle\frac{1}{2}t^2+\sqrt{2}t-\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(y=-\displaystyle\frac{1}{2}(t-\sqrt{2})^2+\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・①

また,\(t=\sin x+\cos x\) より

\(t=\sqrt{2}\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\)

\(0≦x<2\pi\) のとき

\(-1≦\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)≦1\) より

\(-\sqrt{2}≦t≦\sqrt{2}\) ・・・②

①,②より

\(t=\sqrt{2}\) で最大値:\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(t=-\sqrt{2}\) で最大値:\(-\displaystyle\frac{7}{2}\)

 

\(t=\sqrt{2}\) のとき

\(\sqrt{2}\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\)

\(\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1\)

\(\displaystyle\frac{\pi}{4}≦x+\displaystyle\frac{\pi}{4}<\displaystyle\frac{9\pi}{4}\) より

\(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

よって,\(x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) のとき最大値:\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(t=-\sqrt{2}\) のとき

\(\sqrt{2}\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\)

\(\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-1\)

\(\displaystyle\frac{\pi}{4}≦x+\displaystyle\frac{\pi}{4}<\displaystyle\frac{9\pi}{4}\) より

\(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\)

よって,\(x=\displaystyle\frac{5\pi}{4}\) のとき最大値:\(-\displaystyle\frac{7}{2}\)

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