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【頻出】f(k-1),f(k),f(k+1)が整数のとき,正の整数nでf(n)は整数

数学(大学入試問題)

すべての整数nに対しf(n)が整数となる条件

\(2\) 次関数 \(f(x)=ax^2+bx\) がある.ある整数 \(k\) に対して、\(f(k-1)\)、\(f(k)\)、\(f(k+1)\) が整数となるとき、次に答えよ.

(1) \(2a\)、\(2b\)、\(a+b\) は整数であることを示せ.

(2) すべての正の整数 \(n\) に対して \(f(n)\) は整数であることを示せ.

 

頻出・有名問題

本問では計算の簡略化のため、関数を \(2\) 次関数 \(f(x)=ax^2+bx\) としたが、実際の入試問題では、\(2\) 次関数 \(f(x)=ax^2+bx+c\) や \(3\) 次関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) で与えられることが多い.

また、一般性を考えて \(k-1\)、\(k\)、\(k+1\) としたが、その入試年度を使った、\(f(2020)\)、\(f(2021)\)、\(f(2022)\) など、適当な具体的な値で出題されることが多い.(つまり代入する値は別に何でもよいということ)

しっかりと考え方・解法の流れを理解し、類題が出題された際に対応できるように!

解答

(1)

\(f(x)=ax^2+bx\) より

\(f(k-1)=a(k-1)^2+b(k-1)=ak^2-2ak+a+bk-b\) ・・・①

\(f(k)=ak^2+bk\) ・・・②

\(f(k+1)=a(k+1)^2+b(k+1)=ak^2+2ak+a+bk+b\) ・・・③

① \(-\) ② \(\times2 +\) ③ より

\(2a=f(k-1)-2f(k)+f(k+1)\)

\(f(k-1)\)、\(f(k)\)、\(f(k+1)\) が整数より、\(2a\) は整数である.

次に、③ − ① より

\(2b=f(k+1)-f(k-1)-4ak=f(k+1)-f(k-1)-2a\times 2k\)

\(f(k-1)\)、\(f(k+1)\)、\(2a\)、\(k\) が整数より、\(2b\) は整数である.

最後に、③ − ② より

\(a+b=f(k+1)-f(k)-2ak\)

\(f(k+1)\)、\(f(k)\)、\(2a\)、\(k\) が整数より、\(a+b\) は整数である.

(2) 数学的帰納法

数学的帰納法を用いて証明する.

( ⅰ ) \(n=1\) のとき

\(f(1)=a+b\) なので、(1)より \(f(1)\) は整数となる.

( ⅱ ) \(n=k\) のとき \(f(n)\) が整数になると仮定する

\(f(k+1)=f(k)+2ak+a+b\) なので、(1)より \(f(k+1)\) は整数となる.

したがって、( ⅰ )、( ⅱ ) より

すべての正の整数 \(n\) に対して \(f(n)\) は整数である

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