【2021数学ⅠA(第2日程)】第1問[1](1次不等式)
(1)問題と解答・解説《ア〜カ》
(1)解答・解説《ア〜エ》
\(|ax-b-7|<3\) ・・・①
\(a=-3\) , \(b=-2\) のとき,①は
\(|-3x-5|<3\) \(\iff\) \(|3x+5|<3\)
よって,\(-3<3x+5<3\)
ゆえに,\(-\displaystyle\frac{8}{3}<x<-\displaystyle\frac{2}{3}\)
これを満たす整数全体の集合 \(P\) は,
\(P=\left\{-2,-1\right\}\) ・・・《ア〜エ》
(2)解答・解説《オ,カ》
\(a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) のとき①は,
\(\left|\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}x-b-7\right|<3\)
\(-3<\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}x-b-7<3\)
\((b+4)\sqrt{2}<x<(b+10)\sqrt{2}\) ・・・②
( ⅰ ) \(b=1\) のとき②より
\(5\sqrt{2}<x<11\sqrt{2}\)
\(7<5\sqrt{2}<8\) , \(15<11\sqrt{2}<16\) なので
これを満たす整数は
\(8 , 9 , 10 , \cdots , 14 , 15\) の \(8\) 個・・・《オ》
( ⅱ ) ①を満たす整数が全部で \(8+1=9\) 個であるような最小の正の整数 \(b\) を考える.
最小の正の整数 ( さらに問題の括弧を見ると \(1\) 桁の数 ) ですから,
\(b=1 , 2 , 3 , \cdots \) と小さい順に考えていきましょう!
・\(b=1\) のとき,( ⅰ )より不適
・\(b=2\) のとき②より
\(6\sqrt{2}<x<12\sqrt{2}\)
\(8<6\sqrt{2}<9\) , \(16<12\sqrt{2}<17\) なので
これを満たす整数は
\( 9 , 10 , \cdots , 15 , 16\) の \(8\) 個より不適
・\(b=3\) のとき②より
\(7\sqrt{2}<x<13\sqrt{2}\)
\(9<7\sqrt{2}<10\) , \(18<13\sqrt{2}<19\) なので
これを満たす整数は
\( 10 , 11 , \cdots , 17 , 18\) の \(9\) 個となり適する.
したがって,求める \(b\) の値は \(3\) ・・・《カ》
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