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【2022兵庫県立大学・社会情報】(4/9)<(n/m)<(1/2)を満たす自然数の組でmの最小

2022年入試問題

【2022兵庫県立大学・社会情報科・第1問( Ⅰ )】

不等式 \(\displaystyle\frac{4}{9}<\displaystyle\frac{n}{m}<\displaystyle\frac{1}{2}\) を満たす自然数の組 \((m,n)\) のうち \(m\) の最小である組 \((m_{0},n_{0})\) を求めなさい.

考え方・方針について

整数問題」の極意は実験!

本問は最小の \(m\) を求めたいので,まずは \(m\) について解き, \(n\) に具体的な値を代入して具体的に実験してみましょう!

\(\displaystyle\frac{4}{9}<\displaystyle\frac{n}{m}<\displaystyle\frac{1}{2}\) を \(m\) について解くと

\(2n<m<\displaystyle\frac{9}{4}n\) ・・・①

・\(n=1\) のとき

① \(\iff\) \(2<m<\displaystyle\frac{9}{4}\) となり

これを満たす自然数 \(m\) は存在しない.

上のように,\(n=2,3,4,\cdots\) と具体的に実験していけば,最小となる値がわかりますね!

解答・解説

\(\displaystyle\frac{4}{9}<\displaystyle\frac{n}{m}<\displaystyle\frac{1}{2}\) を \(m\) について解くと

\(2n<m<\displaystyle\frac{9}{4}n\) ・・・①

・\(n=1\) のとき

① \(\iff\) \(2<m<\displaystyle\frac{9}{4}\) となり

これを満たす自然数 \(m\) は存在しない.

・\(n=2\) のとき

① \(\iff\) \(4<m<\displaystyle\frac{9}{2}\) となり

これを満たす自然数 \(m\) は存在しない.

・\(n=3\) のとき

① \(\iff\) \(6<m<\displaystyle\frac{27}{4}\) となり

これを満たす自然数 \(m\) は存在しない.

・\(n=4\) のとき

① \(\iff\) \(8<m<9\) となり

これを満たす自然数 \(m\) は存在しない.

・\(n=5\) のとき

① \(\iff\) \(10<m<\displaystyle\frac{45}{4}\) となり

これを満たす自然数 \(m=11\)

・\(n≧6\) のとき

① \(\iff\) \(12≦2n<m<\displaystyle\frac{9}{4}n\) より,\(m>11\)

ゆえに①を満たす最小の \(m=11\)

したがって,\((m_{0},n_{0})=(11,5)\)

補足:加比の理

加比の理

① 等式タイプ

\(\displaystyle\frac{b}{a}=\displaystyle\frac{d}{c}\) のとき,\(\displaystyle\frac{b}{a}=\displaystyle\frac{d}{c}=\displaystyle\frac{b+d}{a+c}\)

② 不等式タイプ

\(\displaystyle\frac{b}{a}<\displaystyle\frac{d}{c}\) のとき,\(\displaystyle\frac{b}{a}<\displaystyle\frac{b+d}{a+c}<\displaystyle\frac{d}{c}\)

ここでは厳密な証明は省略しますが,下図の”傾き”に注目すると,加比の理が成り立つのは明らかですね!

本問では, \(\displaystyle\frac{4}{9}<\displaystyle\frac{1}{2}\) より, \(\displaystyle\frac{4}{9}<\displaystyle\frac{5}{11}<\displaystyle\frac{1}{2}\) が成り立つので,\((m,n)=(11,5)\) は答えの \(1\) つであることは分かります!

不等式の加比の理については,

「A:\(3\) %の食塩水」と「B:\(7\) %の食塩水」を混ぜた食塩水をCとすると,

濃度は「 \(A<C<B\) 」の関係になりますよね?

その関係を表したものになっています!

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