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【三角関数】公式まとめ&差がつく入試問題演習

数学(大学入試問題)

はじめに

公式の証明・理解はもちろん大切ですが、まずは何はともあれしっかりと覚えて使えることも大切!

特に三角関数で登場する公式はたくさんあります。

しっかりと覚え、その上で公式を使いこなす練習をしましょう!

公式は大丈夫と言う人は、下記にある演習問題にチャレンジ!

 

三角関数・公式一覧

《加法定理》

・\(\sin(\alpha±\beta)=\sin\alpha \cos\beta±\cos\alpha \sin\beta \)

・\(\cos(\alpha±\beta)=\cos\alpha \cos\beta ∓\sin\alpha \sin\beta \)

・\(\tan(\alpha±\beta)=\displaystyle\frac{\tan\alpha±\tan\beta }{1∓\tan\alpha \tan\beta }\)

《2倍角の公式》

\(\begin{align*} \sin2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\[5pt] \cos2\alpha &= \cos^2\alpha – \sin^2\alpha \\[5pt] &= 1-2\sin^2\alpha \\[5pt] &= 2\cos^2\alpha -1 \\[5pt] \tan2\alpha &= \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}\)

《半角の公式》

\(\begin{align*} \sin^2\frac{\alpha}{2} &= \frac{1-\cos\alpha}{2} \\[5pt] \cos^2\frac{\alpha}{2} &= \frac{1+\cos\alpha}{2} \\[5pt] \tan^2\frac{\alpha}{2} &= \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \\[5pt] \end{align*}\)

《3倍角の公式》

\(\begin{align*} \sin3\alpha &= 3\sin\alpha – 4\sin^3\alpha \\[5pt] \cos3\alpha &= 4\cos^3\alpha – 3\cos\alpha \\[5pt] \end{align*}\)

《積和の公式》

\(\begin{align*} \sin\alpha \cos\beta &= \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha – \beta) \} \\[5pt] \cos\alpha \sin\beta &= \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha+\beta) – \sin(\alpha – \beta) \} \\[5pt] \cos\alpha \cos\beta &= \frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha – \beta) \} \\[5pt] \sin\alpha \sin\beta &= – \frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha – \beta) \} \\[5pt] \end{align*}\)

《和積の公式》

\(\begin{align*} \sin \alpha + \sin \beta &= 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\[5pt] \sin \alpha – \sin \beta &= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\[5pt] \cos \alpha + \cos \beta &= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\[5pt] \cos \alpha – \cos \beta &= -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\[5pt] \end{align*}\)

【演習問題(2011京都薬科・2014大阪大)】

【2011京都薬科大学】

\(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<x<0\) において、

\(\sqrt{\displaystyle\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=8\) のとき、

\(\tan \displaystyle\frac{x}{2}\) の値を求めよ.

 

【2014大阪大学-文系(一部)】

\(\cos x+\cos y ≠ 0\) を満たすすべての実数 \(x , y\) に対して等式

\(\tan \displaystyle\frac{x+y}{2} = \displaystyle\frac{\sin x+\sin y}{\cos x+\cos y}\)

が成立することを証明せよ.

公式を確認した上で、どの公式を利用するか見抜けますか??

解答は

【三角関数】差がつく入試問題 京都薬科大学・大阪大学(文系)

を確認してください!

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