【2023東京医科大学・医学部】陽性と判定されたとき、実際に陽性である条件付き確率

【2023東京医科大学・医学部・第１問(１)】

ウィルス \(X\) に対して陽性または陰性と判定する検査 \(A\) に関して次の \(2\) つのことがわかっている．

( ⅰ )　ウィルス \(X\) に感染している人に検査 \(A\) を実施すると，\(80\)% の確率で陽性と判定される．

( ⅱ )　ウィルス \(X\) に感染していない人に検査 \(A\) を実施すると，\(70\)% の確率で陰性と判定される．

ある集団において，\(40\)% の人がウィルス \(X\) に感染していることがわかっている．この集団の人に対して検査 \(A\) を行って陽性と判定されたとき，実際にウィルス \(X\) に感染している条件付き確率を求めよ．

条件付き確率

事象 \(A\) が起こったときに、事象 \(B\) が起こる確率を条件付き確率といい、\(P_{A}B\) と表す．

\(P_{A}(B)=\displaystyle\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

ウィルス \(X\) に感染している事象を \(X\)，

検査 \(A\) によって陽性と判定される事象を \(Y\) とおく．

条件より \(P(X)=0.4\)

( ⅰ )より \(P(X\cap Y)=0.4\times 0.8=0.32\)

( ⅱ )より \(P(\overline{X}\cap Y)=(1-0.4)\times (1-0.7)=0.18\) より

\(P(Y)=P(X\cap Y)+P(\overline{X}\cap Y)=0.32+0.18=0.5\)

したがって求める条件付き確率は，

\(P_{Y}(X)=\displaystyle\frac{0.32}{0.5}=\displaystyle\frac{16}{25}\)