【2022福島県立医科大学・医】10進法、3進法。1がちょうど2回あらわれる。整数・場合の数

解答・解説

(１)　\(10\) 進法における \(6^4\) を \(3\) 進法で表せ．

\(6^4=2^4\times 3^4\) であり，

\(2^4=16=1\times 3^2+2\times 3^1+1\times 3^0\) より

\(6^4=1\times 3^6+2\times 3^5+1\times 3^4\)

よって，\(10\) 進法における \(6^4\) を \(3\) 進法で表すと，\(1210000_{(3)}\)

(２)　\(3\) 進法で表したとき，各位の数字に \(1\) がちょうど \(2\) 回あらわれるような数は何個

\(3\) 進法で表したとき各位の数字に \(1\) がちょうど \(2\) 回あらわれるような数のうち，\(7\) 桁以下の自然数の個数は，\(1\) が何桁目にくるかの選び方で \(_{7}C_{2}=21\) 通り，

また残り \(5\) 個の数字の選び方は \(0\) または \(2\) となれば良いので，\(2^5=32\) 通り

(※ただし，\(0010102_{(3)}\) のように先頭に \(0\) を含む場合は，\(10102_{(3)}\) ( \(5\) 桁 ) と考える．)

よって，\(21\times 32=672\) 通り

この中で，\(1210000_{(3)}\) より大きい \(7\) 桁の自然数の個数を考える．

( ⅰ )　先頭が \(121\) ではじまるとき

残りの下 \(4\) 桁は，「 \(0000\) 」以外の \(0\) または \(2\) で作られる数であるから，

\(2^4-1=15\) 通り

( ⅱ )　先頭が \(122\) ではじまるとき

残りの下 \(4\) 桁の \(1\) つが \(1\) になるので，その選び方は \(_{4}C_{1}=4\) 通り

残り \(3\) 個の数字の選び方は \(0\) または \(2\) となれば良いので，\(2^3=8\) 通り

よって，\(4\times 8=32\) 通り

( ⅲ )　先頭が \(2\) ではじまるとき

残りの下 \(6\) 桁の \(2\) つが \(1\) になるので，その選び方は \(_{6}C_{2}=15\) 通り

残り \(4\) 個の数字の選び方は \(0\) または \(2\) となれば良いので，\(2^4=16\) 通り

よって，\(15\times 16=240\) 通り

以上より，求める個数は

\(672-(15+32+240)=385\) 通り