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【2021共通テスト】数学ⅡB:第1問[2](指数・対数関数)|会話形式から考察

数学(大学入試問題)

【2021数学ⅡB】第1問[2](指数・対数関数)

(1)問題と解答・解説《セ〜テ》

解答・解説《セ〜テ》

\(f(0)=\displaystyle\frac{2^0+2^{-0}}{2}=\)\(1\) ・・・《セ》

\(g(0)=\displaystyle\frac{2^0-2^{-0}}{2}=\)\(0\) ・・・《ソ》

また,\(2^x>0\) より,相加平均・相乗平均の関係から

\(2^x+2^{-x}≧2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}}=2\)

よって,\(f(x)=\displaystyle\frac{2^x+2^{-x}}{2}≧1\)

等号成立は,\(2^x=2^{-x}\) \(\iff\) \(x=0\)

したがって,\(x=0\) で最小値: \(1\) ・・・《タチ》

次に,\(g(x)=-2\) のとき

\(g(x)=\displaystyle\frac{2^x-2^{-x}}{2}=-2\)

\(a=2^x\) とおく ( \(a>0\) )

\(\displaystyle\frac{a-\displaystyle\frac{1}{a}}{2}=-2\)

\(\iff\) \(a^2+4a-1=0\)

\(a>0\) より \(a=-2+\sqrt{5}\)

つまり,\(2^x=-2+\sqrt{5}\)

よって,\(x=\log_{2}{(\sqrt{5}-2)}\) ・・・《ツテ》

(2)問題と解答・解説《ト〜ヌ》

解答・解説《ト〜ヌ》

\(f(-x)=\displaystyle\frac{2^{-x}+2^{-(-x)}}{2}=\displaystyle\frac{2^x+2^{-x}}{2}=f(x)\)

よって,\(f(-x)=f(x)\) ・・・《ト:⓪

\(g(-x)=\displaystyle\frac{2^{-x}-2^{-(-x)}}{2}=-\displaystyle\frac{2^x-2^{-x}}{2}=-g(x)\)

よって,\(g(-x)=-g(x)\) ・・・《ナ:③

また,

\(\left\{f(x)\right\}^2-\left\{g(x)\right\}^2=\left(f(x)+g(x)\right)\left(f(x)-g(x)\right)=2^x\cdot2^{-x}=\)\(1\) ・・・《ニ》

\(g(2x)=\displaystyle\frac{2^{2x}-2^{-2x}}{2}=\displaystyle\frac{(2^x)^2-(2^{-x})^2}{2}=\displaystyle\frac{(2^x+2^{-x})(2^x-2^{-x})}{2}\) であるから,

\(g(2x)=2\times \displaystyle\frac{2^x+2^{-x}}{2}\times \displaystyle\frac{2^x-2^{-x}}{2}=\)\(2f(x)g(x)\)  ・・・《ヌ》

(3)問題と解答・解説《ネ》

解答・解説《ネ》

(1)より \(f(0)=1\) , \(g(0)=0\) であるから,(A)〜(D) において \(\beta=0\) とする

(A) について

\(f(\alpha)=f(\alpha)g(0)+g(\alpha)f(0)=g(\alpha)\) となるが,

常に \(f(x)=g(x)\) とはならないため,(A) は不成立.

(B) について

\(f(\alpha)=f(\alpha)f(0)+g(\alpha)g(0)=f(\alpha)\) であるから (B) は答えの可能性あり!

(C) について

\(g(\alpha)=f(\alpha)f(0)+g(\alpha)g(0)=f(\alpha)\) となるが,

常に \(f(x)=g(x)\) とはならないため,(A) は不成立.

(D) について

\(g(\alpha)=f(\alpha)g(0)-g(\alpha)f(0)=-g(\alpha)\) となるが,

常に \(g(x)=-g(x)\) とはならないため,(A) は不成立.

以上から,(B) 以外の三つは成り立たない ・・・《ネ:①》

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