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【2022共通テスト】数学ⅠA:第2問[1](2次関数、集合と命題)|会話形式

数学(大学入試問題)

【2022数学ⅠA】第2問[1](2次関数、集合と命題)

(1)(2)問題と解答・解説《ア〜エ》

解答・解説《ア〜エ》

(1)

\(p=4\) , \(q=-4\) のとき

①は \(x^2+4x-4=0\) より

\(x=-2\pm2\sqrt{2}\)

①は \(x^2-4x+4=0\) より

\((x-2)^2=0\)

\(x=2\)

であるから,①または②を満たす実数解の個数は \(n=3\) ・・・《ア》

また,\(p=1\) , \(q=-2\) のとき

①は \(x^2+x-2=0\) より

\((x+2)(x-1)=0\)

\(x=-2,1\)

①は \(x^2-2x+1=0\) より

\((x-1)^2=0\)

\(x=1\)

であるから,①または②を満たす実数解の個数は \(n=2\) ・・・《イ》

(2)

(2)の前半は共通解の問題です!

有名・頻出問題ですから,しっかりと考え方をおさえておきましょう!

【共通解問題】2次方程式の共通な解|4STEP181

\(p=-6\) のとき

①は \(x^2-6x+q=0\)

②は \(x^2+qx-6=0\)

①,②をともに満たす実数 \(x\) があるとき,それを \(x=\alpha\) とする.

\(\alpha^2-6\alpha+q=0\) ・・・① ‘

\(\alpha^2+q\alpha-6=0\) ・・・② ‘

② ‘ ー ① ‘ より

\((q+6)\alpha-(q+6)=0\)

\((q+6)(\alpha-1)=0\)

\(q=-6\) または \(\alpha=1\)

\(q=-6\) のとき \(p=q\) となり①,②は一致するため \(n=3\) とならない.

よって,\(q\not=-6\) となる.

\(\alpha=1\) のとき

\(1-6+q=0\) \(\iff\) \(q=5\)

このとき

①は \(x^2-6x+5=0\)

\((x-1)(x-5)=0\)

\(x=1,5\)

②は \(x^2+5x-6=0\)

\((x+6)(x-1)=0\)

\(x=-6,1\)

となり確かに \(n=3\) となる.

また,\(n=3\) となるのは

①,②のいずれか一方が重解をもち,他方がこの重解と異なる \(2\) 実解をもてばよい.

・①が重解をもつとき

\(\displaystyle\frac{①の判別式}{4}=(-3)^2-q=0\) \(\iff\) \(q=9\)

このとき

①は \(x^2-6x+9=0\)

\((x-3)^2=0\)

\(x=3\)

②は \(x^2+9x-6=0\)

\(x=\displaystyle\frac{-9\pm\sqrt{105}}{2}\) となり

\(n=3\) となる.

・②が重解をもつとき

(②の判別式)\(=q^2+24>0\) となり不適

したがって,\(q=5,9\) ・・・《ウエ》

(3)問題と解答・解説《オ,カ》

解答・解説《オ,カ》

\(p=-6\) に固定し,\(q\) の値だけを変化させる

\(y=x^2-6x+q=(x-3)^2+q-9\) ・・・③

\(y=x^2+qx-6=\left(x+\displaystyle\frac{q}{2}\right)^2-\displaystyle\frac{q^2}{4}-6\) ・・・④

③のグラフの頂点は \((3,q-9)\) ,④のグラフの頂点は \(\left(-\displaystyle\frac{q}{2},-\displaystyle\frac{q^2}{4}-6\right)\) であるから,\(q\) の値を \(1\) から増加させたとき,

③のグラフの頂点の \(x\) 座標は一定で,\(y\) 座標は増加する.

よって,グラフは上側に動くので,⑥ ・・・《オ》

④のグラフの頂点の \(x\) ,\(y\) 座標はともに減少する.

よって,グラフは左下側に動くので,① ・・・《カ》

(4)問題と解答・解説《キ,ク》

解答・解説《キ,ク》

\(5<q<9\) のとき

(2)より \(q=5\) , \(q=9\) のとき

それぞれのグラフは

(3)の結果から \(q\) が \(5\) から \(9\) まで動くとき

③のグラフは上側,④のグラフは左下側に動くことに注意すると

\(A\) と \(B\) は共通範囲を持たず,

常に \(B\) は \(A\) よりも左側にある.

よって,\(A\not\subset B\) であるから

・\(x\in A\) は,\(x\in B\) であるための「③必要条件でも十分条件でもない」・・・《キ》

また,\(B\subset \overline{A}\) であるから

・\(x\in B\) は,\(x\in \overline{A}\) であるための「①十分条件であるが,必要条件ではない」・・・《ク》

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