【2023大阪医科薬科大学】実数係数の方程式が虚数解αを持つとき、共役な複素数も解

解答・解説

解法①

\(a_{k}\) ( \(k=0,1,2,\cdots,n\) ) を実数として，

\(f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\) ( \(a_{n}\not=0\) ) とする．

\(f(\alpha)=0\)

\(\iff\) \(a_{n}\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_{1}\alpha+a_{0}=0\)

\(\iff\) \(\overline{a_{n}\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_{1}\alpha+a_{0}}=\overline{0}\)

\(\iff\) \(\overline{a_{n}\alpha^n}+\overline{a_{n-1}\alpha^{n-1}}+\cdots+\overline{a_{1}\alpha}+\overline{a_{0}}=0\)

\(\iff\) \(\overline{a_{n}}\left(\overline{\alpha}\right)^n+\overline{a_{n-1}}\left(\overline{\alpha}\right)^{n-1}+\cdots+\overline{a_{1}}\left(\overline{\alpha}\right)+\overline{a_{0}}=0\)

\(a_{k}\) は実数より，\(\overline{a_{k}}=a_{k}\) なので

\(a_{n}\left(\overline{\alpha}\right)^n+a_{n-1}\left(\overline{\alpha}\right)^{n-1}+\cdots+a_{1}\left(\overline{\alpha}\right)+a_{0}=0\)

\(\iff\) \(f\left(\overline{\alpha}\right)=0\)

したがって，\(f(x)=0\) が虚数解 \(\alpha\) をもつならば \(\overline{\alpha}\) も解となる．

解法②

\(g(x)=(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})=x^2-\left(\alpha+\overline{\alpha}\right)x+\alpha\overline{\alpha}\) とおく．

\(\alpha+\overline{\alpha}\)，\(\alpha\overline{\alpha}\) は実数であるから，

\(g(x)\) は実数係数の \(2\) 次式となる．

\(f(x)\) を \(g(x)\) で割った商を \(q(x)\)，余りを \(ax+b\) とおくと

\(f(x)=g(x)q(x)+ax+b\)

実数係数の \(f(x)\) を，実数係数の \(g(x)\) で割っているので，余りの \(a\)，\(b\) も実数となる．

ここで，\(a\not=0\) と仮定すると

\(f\left(\alpha\right)=0\) \(\iff\)  \(a\alpha+b=0\) ・・・① より

\(\alpha\not=-\displaystyle\frac{b}{a}\) より \(\alpha\) が実数となり矛盾．

よって \(a=0\)

①より \(b=0\) となり

\(f(x)=g(x)q(x)\) が成立．

したがって，\(g\left(\overline{\alpha}\right)=0\) より

\(f\left(\overline{\alpha}\right)=0\) となり \(\overline{\alpha}\) も解となる．