【2023東京大学・理科・第２問】
黒玉 \(3\) 個，赤玉 \(4\) 個，白玉 \(5\) 個が入っている袋から玉を \(1\) 個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に \(12\) 個全て並べる．ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする．
(１) どの赤玉も隣り合わない確率 \(p\) を求めよ．
(２) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 \(q\) を求めよ．
解答・解説
(１) どの赤玉も隣り合わない確率
黒玉 \(3\) 個，赤玉 \(4\) 個，白玉 \(5\) 個が入っている袋から玉を \(1\) 個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に \(12\) 個全て並べる順列の総数は
\(\displaystyle\frac{12!}{3! 4! 5!}=12\times 11\times 10\times 3\times 7\)(\(=27720\)) 通り
このうち，どの赤玉も隣り合わない順列は
まず赤玉以外の \(8\) 個の玉を並べ，それらの間または両端の \(9\) ヶ所から \(4\) ヶ所選んで赤玉を並べればよいので，
\(\displaystyle\frac{8!}{3!5!}\times _{9}C_{4}=8\times 7\times 9\times 2\times 7\)(\(=7056\)) 通り
よって
\(p=\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}=\displaystyle\frac{14}{55}\)
(２) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率
どの赤玉も隣り合わない事象を \(A\)，どの黒玉も隣り合わない事象を \(B\) とすると
\(q=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\) ・・・①
(１)より \(P(A)=p=\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}\)
次に \(P(A\cap B)\) について
どの赤玉も隣り合わない かつ どの黒玉も隣り合わない確率は
まず赤玉以外の \(8\) 個の並べ方について，次の( ⅰ )，( ⅱ )，( ⅲ )のいずれかの場合で考える．
( ⅰ ) 白玉を先に \(5\) 個並べ，これらの玉の間または両端の \(6\) ヶ所から \(3\) ヶ所選んで黒玉を並べ，\(8\) 個の玉の間または両端の \(9\) ヶ所から \(4\) ヶ所選んで赤玉を並べるとき
\(_{6}C_{3}\times _{9}C_{4}=2520\) 通り
( ⅱ ) 黒玉 \(3\) 個をひと塊と考え，これと \(5\) 個の白玉をまず並べる．そして赤玉 \(4\) 個のうち \(2\) 個は黒玉の間に並べ，残り \(2\) 個の赤玉をそれ以外の玉の間または両端の \(7\) ヶ所から \(2\) ヶ所選んで並べるとき
\(6\times _{7}C_{2}=126\) 通り
( ⅲ ) 赤玉以外の \(8\) 個の玉のうち，黒玉がちょうど \(2\) 個隣り合い，残り \(1\) 個の黒玉はそれらと隣り合わないとき
赤玉 \(4\) 個のうち \(1\) 個は黒玉の間に並び，それ以外の玉の間または両端の \(8\) ヶ所から \(3\) ヶ所選んで残りの赤玉を並べればよい
\(\left(_{8}C_{3}-_{6}C_{1}-_{6}C_{3}\right)\times _{8}C_{3}=1680\) 通り
したがって( ⅰ )〜( ⅲ )より
\(P(A\cap B)=\displaystyle\frac{2520+126+1680}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}=\displaystyle\frac{4326}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}\)
以上から求める条件付き確率は
\(q=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4326}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}}{\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}}=\displaystyle\frac{103}{168}\)
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